Use a definição para calcular as transformadas das funçÔes abaixo.
t & 0= 1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a transformada de Laplace da função f(t) definida por partes: f(t)=t para 0<t<1 e f(t)=1 para t≥1. Vamos usar a definição de transformada de Laplace \ $\mathcal{L}{f(t)}(s)=\int_{0}{\infty}f(t)e{-st}\,\ s>0$ e ver que dá pra quebrar essa integral em duas partes.

Passo 2

Aplicamos a definição e separamos o integral em duas regiões: a parte de 0 a 1 onde f(t)=t e a parte de 1 a ∞ onde f(t)=1: \ $$F(s)=\int_{0}{1}t,e{-st},dt;+
\int_{1}^{\infty}1\cdot e^{-st},dt.$$

Passo 3

Para calcular \ $\int_{0}{1}t,e{-st}\,dt$ usamos integração por partes: tome \ $u=t$ e \ $dv=e^{-st}dt$. Então \ $du=dt$ e \ $v=-\frac{1}{s}e^{-st}$. Aplicando:
integral0^1t,e^-st,dt

Passo 4

Para a segunda parte, \ $\int_{1}{\infty}e{-st}dt$, basta integrar exponencial:
integral1^inftye^-stdt

Passo 5

Somando as duas parcelas temos
F(s)=l(-1se^-s+1-e^-ss^2r)+e^-ss =1s^2-e^-s(1+s)s^2+e^-ss =1-e^-ss^2

Resposta

$F(s)=\frac{1-e{-s}}{s2},\quad s>0$

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