Um subconjunto
do plano complexo é chamado Domínio se o mesmo for um conjunto aberto e conexo. Esboce no plano complexo o conjunto de pontos
que satisfazem as expressões abaixo e decida quando são ou não domínios.
Passo 1
O enunciado pede para achar o lugar geométrico dos pontos
que satisfazem
, desenhar esse conjunto e verificar se ele é um domínio (ou seja, se é aberto e conexo).
Passo 2
Vamos escrever
em coordenadas reais:
, onde
e
.
A desigualdade vira, em coordenadas,
A desigualdade
Elevando ao quadrado (que preserva a desigualdade pois ambas raízes são não negativas) e simplificando, temos
que reduz a
portanto
isto é,
Passo 3
Geométricamente, esse conjunto é o semiplano fechado à esquerda da reta vertical
, incluindo a reta.
Um domínio deve ser aberto e conexo. Nosso semiplano é conexo (é um bloco só), mas não é aberto (a reta faz parte do conjunto).
Um domínio deve ser aberto e conexo. Nosso semiplano é conexo (é um bloco só), mas não é aberto (a reta
Resposta
O conjunto é o semiplano fechado
, que é conexo mas não aberto, logo não é um domínio.