Um subconjunto S do plano complexo é chamado Domínio se o mesmo for um conjunto aberto e conexo. Esboce no plano complexo o conjunto de pontos s in C que satisfazem as expressões abaixo e decida quando são ou não domínios.
|s-4| >=|s|

Passo 1

O enunciado pede para achar o lugar geométrico dos pontos sinC que satisfazem |s-4|>=|s|, desenhar esse conjunto e verificar se ele é um domínio (ou seja, se é aberto e conexo).

Passo 2

Vamos escrever s em coordenadas reais: s = x + iy, onde x = Re(s) e y = Im(s).
A desigualdade |s-4| >= |s| vira, em coordenadas,
raiz(x-4)^2 + y^2 >= raizx^2 + y^2
Elevando ao quadrado (que preserva a desigualdade pois ambas raízes são não negativas) e simplificando, temos
(x-4)^2 + y^2 >= x^2 + y^2
que reduz a
x^2 - 8x + 16 + y^2 >= x^2 + y^2
portanto
-8x + 16 >= 0
isto é,
x <= 2

Passo 3

Geométricamente, esse conjunto é o semiplano fechado à esquerda da reta vertical Re(s)=2, incluindo a reta.
Um domínio deve ser aberto e conexo. Nosso semiplano é conexo (é um bloco só), mas não é aberto (a reta x=2 faz parte do conjunto).

Resposta

O conjunto é o semiplano fechado s: Re(s)<=2, que é conexo mas não aberto, logo não é um domínio.

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