Um subconjunto
do plano complexo é chamado Domínio se o mesmo for um conjunto aberto e conexo. Esboce no plano complexo o conjunto de pontos
que satisfazem as expressões abaixo e decida quando são ou não domínios.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o conjunto S = {s ∈ ℂ : |s| > 0, 0 ≤ arg(s) ≤ π/4} e decidir se S é um domínio. O conteúdo é teoria de domínios no plano complexo, que requer que S seja aberto e conexo. Vamos usar definição de argumento e de conjunto aberto.
Passo 2
O argumento de um número complexo s, denotado por arg(s), é o ângulo que o vetor no plano forma com o eixo real positivo. A condição 0 ≤ arg(s) ≤ π/4 define um setor angular entre o raio com ângulo 0 e o raio com ângulo π/4 relativos ao eixo real positivo.
Graficamente, S é o setor compreendido entre os dois raios arg(s)=0 e arg(s)=π/4, excluindo apenas a origem (pois |s|>0), mas incluindo as duas bordas do setor, pois as desigualdades em arg(s) são não estritas.
Graficamente, S é o setor compreendido entre os dois raios arg(s)=0 e arg(s)=π/4, excluindo apenas a origem (pois |s|>0), mas incluindo as duas bordas do setor, pois as desigualdades em arg(s) são não estritas.
Passo 3
Verificamos a conexidade: o setor angular é conexo, já que qualquer par de pontos no setor pode ser ligado por um arco que permaneça totalmente dentro do setor.
Passo 4
Verificamos a abertura: embora |s|>0 seja condição aberta em relação à distância ao polo, as desigualdades 0 ≤ arg(s) ≤ π/4 são fechadas em relação à direção. Assim, pontos sobre as linhas arg(s)=0 ou arg(s)=π/4 não têm vizinhança totalmente contida em S, logo S não é aberto.
Passo 5
Como S é conexo mas não é aberto, concluímos que S não satisfaz a definição de domínio no plano complexo.
Resposta
O conjunto S não é domínio, pois ele não é aberto.