Calcule, caso a série seja convergente, a soma da série dada.
sumn=0^+infty pi^-n

Passo 1

O enunciado pede para calcular a soma da série sumn=0^+infty pi^-n, que é uma série geométrica. Vamos usar o conteúdo de séries geométricas, em que precisamos do termo inicial, da razão e do critério de convergência para r.

Passo 2

Uma série geométrica de termo geral a r^n satisfaz o critério de convergência |r|<1 e, nesse caso, sua soma é
S = a1 - r

Passo 3

No nosso caso, podemos escrever o termo geral como
pi^-n = l(1pir)^n,
portanto o termo inicial é a = 1 (quando n=0) e a razão é r = tfrac1pi. Como |r| = tfrac1pi<1 (já que pi>1), a série converge.

Passo 4

Aplicando a fórmula da soma com a=1 e r=1/pi, temos:
S = 11 - tfrac1pi

Passo 5

Basta simplificar essa expressão:
S = 1tfracpi - 1pi = pipi - 1

Resposta

pipi - 1

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