Um subconjunto
do plano complexo é chamado Domínio se o mesmo for um conjunto aberto e conexo. Esboce no plano complexo o conjunto de pontos
que satisfazem as expressões abaixo e decida quando são ou não domínios.
Passo 1
O enunciado pede para representar geometricamente o conjunto de pontos em
que satisfazem
e dizer se esse conjunto é um domínio (ou seja, aberto e conexo). Vamos usar noções de geometria no plano complexo (círculos e regiões abertas) e de conectividade.
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão:
Isso mostra que o conjunto é o exterior do círculo de centro em
Passo 3
No esboço, marcamos o ponto
no eixo real, desenhamos o círculo de raio
e sombreamos toda a região externa a ele.
Como usamos desigualdade estrita ( ), esse conjunto não inclui a fronteira (o círculo) e, portanto, é aberto.
Como usamos desigualdade estrita (
Passo 4
A região externa a um círculo no plano é um único pedaço, sem partes desconexas. Logo, ela é conexa.
Como o conjunto é aberto e conexo, concluímos que ele é um domínio.
Como o conjunto é aberto e conexo, concluímos que ele é um domínio.
Resposta
O conjunto é o exterior do círculo de centro
e raio
; ele é aberto e conexo, logo é um domínio.