Obtenha as soluções das seguintes EDOs:
;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem y′=2xy+x. O conteúdo aqui é equação linear de 1º ordem, e vamos precisar usar fator integrante para encontrar a solução geral.
Passo 2
Reescrevemos a equação no formato padrão de linear:
Aqui identificamos p(x)= -2x e q(x)= x.
Passo 3
Calculamos o fator integrante dado por
Esse fator transforma o lado esquerdo em derivada de produto.
Passo 4
Multiplicamos a equação inteira por
e observamos que o lado esquerdo vira a derivada de
:
Então integramos ambos os lados:
Passo 5
Para integrar
fazemos a substituição
,
, obtendo
. Logo
temos
e, multiplicando por
,
chegamos à solução geral
Resposta
y(x)=C e{x2}-\tfrac12