Obtenha as soluções das seguintes EDOs:
y^prime=2 x y+x;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de primeira ordem y′=2xy+x. O conteúdo aqui é equação linear de 1º ordem, e vamos precisar usar fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Reescrevemos a equação no formato padrão de linear: y' - 2x,y = x Aqui identificamos p(x)= -2x e q(x)= x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante dado por mu(x)=expl(integral p(x),dxr)=expl(integral -2x,dxr)=exp(-x^2) Esse fator transforma o lado esquerdo em derivada de produto.

Passo 4

Multiplicamos a equação inteira por mu(x)=e^-x^2 e observamos que o lado esquerdo vira a derivada de y e^-x^2: ddxl(y e^-x^2r)=x e^-x^2 Então integramos ambos os lados: y e^-x^2=integral x e^-x^2,dx

Passo 5

Para integrar integral x e^-x^2dx fazemos a substituição u=-x^2, du=-2x,dx, obtendo integral x e^-x^2dx=-tfrac12 e^-x^2+C. Logo
temos y e^-x^2=-tfrac12 e^-x^2+C e, multiplicando por e^x^2,
chegamos à solução geral y(x)=C e^x^2-tfrac12

Resposta

y(x)=C e{x2}-\tfrac12

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