Derive e simplifique.
y=raizsen raizx

Passo 1

O enunciado pede para derivar e simplificar a função y = raizsin(raizx). Vamos usar principalmente a regra da cadeia para lidar com funções compostas e as derivadas de funções elementares (raiz quadrada, seno e potência).

Passo 2

Primeiro, note que podemos escrever y em notação de potências para identificar melhor as camadas de compostos:
y = [sin(x^1/2)]^1/2

Passo 3

Aplicamos a regra da cadeia em cascata definindo duas funções internas: w = x^1/2 e v = sin(w). Então temos


Passo 4

Agora juntamos tudo pela regra da cadeia:
dydx = dydvcdotdvdwcdotdwdx = 12 v^-1/2cdot cos(w)cdot 12 x^-1/2
Substituindo v = sin(raizx) e w = raizx obtemos
dydx = 14x^-1/2[sin(raizx)]^-1/2cos(raizx)

Passo 5

Por fim, reconhecemos que x^-1/2 = 1/raizx e [sin(raizx)]^-1/2 = 1/raizsin(raizx). Assim a forma mais simples é
dydx = cos(raizx)4raizx,raizsin(raizx) = cos(raizx)4raizx,sin(raizx)

Resposta

y' = cos(raizx)4raizx,sin(raizx)

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