Calcule o centro de gravidade da região R limitada pelo gráfico y=sen x e y=2pi x em [0, pi2]. O centro de gravidade ( barx, bary ) de uma região limitada pelas funções contínuas f e g com f(x) >= g(x) no intervalo [a, b], é dado por
barx=1A integrala^b x[f(x)-g(x)] d x
bary=1A integrala^b[f(x)+g(x)2][f(x)-g(x)] d x,
sendo A a área da região: A=integrala^b[f(x)-g(x)] d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do centro de gravidade de R limitada por f(x)=sen x (superior) e g(x)=\tfrac{2}{\pi}x (inferior) em [0,π/2]. O conteúdo é o cálculo de centróide de uma região plana, e vamos precisar usar as fórmulas de área A e dos momentos
para x e y:
A=integrala^b[f(x)-g(x)],dx,
barx=1Aintegrala^b x[f(x)-g(x)],dx,
bary=1Aintegrala^bf(x)+g(x)2[f(x)-g(x)],dx

Passo 2

Para achar a área A de R, calculamos
A=integral0^pi/2l(sin x-tfrac2pixr),dx
Separando:
integral0^pi/2sin x,dx=1, integral0^pi/2tfrac2pix,dx=tfracpi4
Logo
A=1-tfracpi4=tfrac4-pi4

Passo 3

Agora calculamos o momento para x:
Mx=integral0^pi/2xl(sin x-tfrac2pixr),dx
Separando as integrais:
integral0^pi/2xsin x,dx=1, integral0^pi/2tfrac2pix^2,dx=tfracpi^212
Assim
Mx=1-tfracpi^212=tfrac12-pi^212

Passo 4

Em seguida o momento para y:
Observando que
f+g2,(f-g)=tfrac12l(sin^2x-(tfrac2pix)^2r),
calculamos
My=integral0^pi/2tfrac12l(sin^2x-tfrac4pi^2x^2r),dx
Usando
integral0^pi/2sin^2x,dx=tfracpi4, integral0^pi/2x^2,dx=tfracpi^324,
vem
My=tfrac12l(tfracpi4-tfrac4pi^2cdottfracpi^324r)=tfracpi24

Passo 5

Por fim, dividimos pelos A para obter as coordenadas do centróide:
barx=MxA=tfrac12-pi^212tfrac4-pi4=12-pi^23(4-pi),
bary=MyA=tfracpi24tfrac4-pi4=pi6(4-pi)

Resposta

(\bar{x},\bar{y})=\bigl(\tfrac{12-\pi^2}{3(4-\pi)},,\tfrac{\pi}{6(4-\pi)}\bigr)

Exercícios relacionados