Calcule o centro de gravidade da região
limitada pelo gráfico
e
em
. O centro de gravidade (
) de uma região limitada pelas funções contínuas
e
com
no intervalo
, é dado por
sendo
a área da região:
Passo 1
O enunciado pede o cálculo do centro de gravidade de R limitada por f(x)=sen x (superior) e g(x)=\tfrac{2}{\pi}x (inferior) em [0,π/2]. O conteúdo é o cálculo de centróide de uma região plana, e vamos precisar usar as fórmulas de área A e dos momentos
para x e y:
para x e y:
Passo 2
Para achar a área A de R, calculamos
Separando:
Logo
Passo 3
Agora calculamos o momento para x:
Separando as integrais:
Assim
Passo 4
Em seguida o momento para y:
Observando que
Observando que
calculamos
Usando
vem
Passo 5
Por fim, dividimos pelos A para obter as coordenadas do centróide:
Resposta
(\bar{x},\bar{y})=\bigl(\tfrac{12-\pi^2}{3(4-\pi)},,\tfrac{\pi}{6(4-\pi)}\bigr)