Calcule
a) integral0^pi / 4 e^tg xcos ^2 x dx
b) integral1^2 x^2 ln x d x

Passo 1

O enunciado pede duas integrais definidas: a) integral0^pi/4 e^tan xcos^2 x,dx e b) integral1^2 x^2ln x,dx. Vamos usar substituição para a) e integração por partes para b).

Passo 2

Para calcular a) fazemos a substituição u=tan x. Então du=1cos^2 x,dx, e os limites em u vão de u(0)=0 até u(pi/4)=1. A integral se transforma em
integral0^pi/4 e^tan xcos^2 x,dx = integral0^1 e^u,du = e^u |0^1 = e - 1

Passo 3

Para b) aplicamos integração por partes. Tomamos
$$
u = \ln x, \quad dv = x^2,dx. u = ln x, dv = x^2,dxã
du=\frac{1}{x},dx, \quad v=\frac{x^3}{3}.
du=1x,dx, v=x^33 ó
\int x^2\ln x,dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \int \frac{x^3}{3}\cdot\frac{1}{x},dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{1}{3}\int x^2,dx.
integral x^2ln x,dx = x^33ln x - integral x^33cdot1x,dx = x^33ln x - 13integral x^2,dx á
\frac{x^3}{3}\ln x - \frac{1}{3}\cdot\frac{x^3}{3} = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9}.
x^33ln x - 13cdotx^33 = x^33ln x - x^39
\Bigl(\tfrac{8}{3}\ln2 - \tfrac{8}{9}\Bigr) - \Bigl(0 - \tfrac{1}{9}\Bigr) = \frac{8}{3}\ln2 - \frac{7}{9}.
$$

Resposta

a) e - 1
b) \displaystyle \frac{8}{3}\ln2 - \frac{7}{9}

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