Calcule
a)
b)
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede duas integrais definidas: a)
e b)
. Vamos usar substituição para a) e integração por partes para b).
Passo 2
Para calcular a) fazemos a substituição
. Então
, e os limites em
vão de
até
. A integral se transforma em
Passo 3
Para b) aplicamos integração por partes. Tomamos
$$
u = \ln x, \quad dv = x^2,dx.
u = ln x, dv = x^2,dx ã
du=\frac{1}{x},dx, \quad v=\frac{x^3}{3}.
\int x^2\ln x,dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \int \frac{x^3}{3}\cdot\frac{1}{x},dx = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{1}{3}\int x^2,dx.
\frac{x^3}{3}\ln x - \frac{1}{3}\cdot\frac{x^3}{3} = \frac{x^3}{3}\ln x - \frac{x^3}{9}.
\Bigl(\tfrac{8}{3}\ln2 - \tfrac{8}{9}\Bigr) - \Bigl(0 - \tfrac{1}{9}\Bigr) = \frac{8}{3}\ln2 - \frac{7}{9}.
$$
Resposta
a) e - 1
b) \displaystyle \frac{8}{3}\ln2 - \frac{7}{9}
b) \displaystyle \frac{8}{3}\ln2 - \frac{7}{9}