Use o Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada das seguintes funções:
e) integral1^e^x(t+cos (t)) d t

Passo 1

Temos a função F(x)=integral1^e^x(t+cos(t)),dt. O conteúdo é o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) para integrais com limite superior variável e Regra da Cadeia.

Passo 2

Pelo TFC, se G(x)=integrala^u(x)f(t),dt, então G'(x)=fl(u(x)r),u'(x). Aqui, identificamos f(t)=t+cos(t) e u(x)=e^x.
Calculamos a derivada de u(x):
u'(x)=ddxe^x=e^x

Passo 3

Avaliamo\s o integrando em u(x):
fl(u(x)r)=u(x)+cosl(u(x)r)=e^x+cosl(e^xr)

Passo 4

Aplicando a fórmula do TFC com cadeia, obtemos:
F'(x)=fl(u(x)r),u'(x)=(e^x+cos(e^x))cdot e^x=e^2x+e^xcos(e^x)

Resposta

F'(x)=e^xl(e^x+cos(e^x)r)

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