Calcule as seguintes integrais:
  1. integral cos (ln (x)) d x
    Primeiro faça uma substituição e depois use integração por partes para calcular as integrais:
    a) integral sen(raizx) d x

Passo 1

Este exercício pede para calcular duas integrais indefinidas: integral cos(ln(x)),dx e integral sin(raizx),dx. Vamos usar substituições adequadas e o método de integração por partes para cada uma delas.

Passo 2

Para integral cos(ln(x)),dx, fazemos a substituição
$$
t = \ln(x) \quad\Rightarrow\quad dt = \frac{1}{x},dx \quad e\quad x = e^t, t = ln(x) Rightarrow dt = 1x,dx e x = e^t,
dx = e^t,dt,
dx = e^t,dt,
\int \cos(t),e^t,dt.
integral cos(t),e^t,dt çã
u = e^t, \quad dv = \cos(t),dt
I=integral e^tcos(t),dt
du = e^t,dt, \quad v = \sin(t).
u = e^t, dv = cos(t),dt ã
I = e^t\sin(t) - \int e^t\sin(t),dt.
du = e^t,dt, v = sin(t)
u=e^t, \quad dv=\sin(t),dt ;\Rightarrow; v=-\cos(t)
I = e^tsin(t) - integral e^tsin(t),dt
\int e^t\sin(t),dt = -e^t\cos(t) + I.
integral e^tsin(t),dt
2I = e^t\bigl(\sin(t)+\cos(t)\bigr)
u=e^t, dv=sin(t),dt ;Rightarrow; v=-cos(t)
I = \frac{e^t}{2}\bigl(\sin(t)+\cos(t)\bigr) + C.
integral e^tsin(t),dt = -e^tcos(t) + I
\int \cos(\ln(x)),dx = \frac{x}{2}\bigl(\sin(\ln(x))+\cos(\ln(x))\bigr) + C.
$$

Passo 3

Para integral sin(raizx),dx, fazemos a substituição
u = raizx = x^1/2 Rightarrow x = u^2, dx = 2u,du
Então
integral sin(raizx),dx = integral sin(u),2u,du = 2integral usin(u),du
Aplicamos integração por partes escolhendo
U = u, dV = sin(u),du
Então
dU = du, V = -cos(u)
e obtemos
2integral usin(u),du = 2l(-ucos(u) + integral cos(u),dur) = -2ucos(u) + 2sin(u) + C
Voltando a x, temos
integral sin(raizx),dx = -2raizxcos(raizx) + 2sin(raizx) + C

Resposta

Para (\displaystyle \int \cos(\ln(x)),dx:\quad \frac{x}{2}\bigl(\sin(\ln(x))+\cos(\ln(x))\bigr) + C.\
Para integral sin(raizx),dx: -2raizxcos(raizx) + 2sin(raizx) + C

Exercícios relacionados