Calcule as seguintes integrais:
-
Primeiro faça uma substituição e depois use integração por partes para calcular as integrais:
a)
Primeiro faça uma substituição e depois use integração por partes para calcular as integrais:
a)
Passo 1
Este exercício pede para calcular duas integrais indefinidas:
e
. Vamos usar substituições adequadas e o método de integração por partes para cada uma delas.
Passo 2
Para
, fazemos a substituição
$$
t = \ln(x) \quad\Rightarrow\quad dt = \frac{1}{x},dx \quad e\quad x = e^t,
dx = e^t,dt,
\int \cos(t),e^t,dt.
u = e^t, \quad dv = \cos(t),dt
du = e^t,dt, \quad v = \sin(t).
I = e^t\sin(t) - \int e^t\sin(t),dt.
u=e^t, \quad dv=\sin(t),dt ;\Rightarrow; v=-\cos(t)
\int e^t\sin(t),dt = -e^t\cos(t) + I.
2I = e^t\bigl(\sin(t)+\cos(t)\bigr)
I = \frac{e^t}{2}\bigl(\sin(t)+\cos(t)\bigr) + C.
\int \cos(\ln(x)),dx = \frac{x}{2}\bigl(\sin(\ln(x))+\cos(\ln(x))\bigr) + C.
$$
Passo 3
Para
, fazemos a substituição
Então
Aplicamos integração por partes escolhendo
Então
e obtemos
Voltando a
, temos
Resposta
Para (\displaystyle \int \cos(\ln(x)),dx:\quad \frac{x}{2}\bigl(\sin(\ln(x))+\cos(\ln(x))\bigr) + C.\
Para
Para