(uma escolha de ângulo que satisfaz \cos\theta=\dfrac{x}{a r}, \sin\theta=\dfrac{y}{b r} quando r>0), obtendo (x,y)=T(r,\theta). Assim T(D)=B (exceto talvez o caso r=0, que corresponde ao ponto originário; isso não prejudica integrais).
Passo 3
Para aplicar a fórmula de mudança de variáveis precisamos do Jacobiano da transformação T. Calcule as derivadas parciais:
J_{T}(r,\theta)= \begin{pmatrix} \partial x/\partial r & \partial x/\partial \theta\\[4pt] \partial y/\partial r & \partial y/\partial \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cos\theta & -a r\sin\theta\\[4pt] b\sin\theta & b r\cos\theta \end{pmatrix}.
O determinante é
\det J_{T}(r,\theta) = (a\cos\theta)(b r\cos\theta) - (-a r\sin\theta)(b\sin\theta) = a b r\bigl(\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta\bigr) = a b r.
Como a>0, b>0 e r\ge 0, temos |\det J_{T}(r,\theta)|=a b r.]
Passo 4
Agora relembrar (breve aula) a fórmula de mudança de variáveis em integrais duplas: se T é uma transformação suave e bijetora quase em todo D e (x,y)=T(u,v), então para uma função integrável f,
Substituindo |\det J_{T}(r,\theta)|=a b r resulta exatamente
\iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy = a b \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\, f\bigl(a r\cos\theta,\; b r\sin\theta\bigr)\,dr\,d\theta.
Passo 5
Comentário didático: por que apareceu o fator r multiplicando a b? Em coordenadas polares simples (sem alongamento) o jacobiano é r porque um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximada r\,\Delta r\,\Delta\theta. Ao escalarmos x por a e y por b, essa área é multiplicada por a b, dando a b r. Essa é a intuição geométrica do cálculo do determinante.
Passo 6
Agora resolvemos (b): calcular a área da elipse. A área é a integral da função constante f(x,y)=1 sobre B. Aplicando a fórmula já estabelecida,
\operatorname{Área}(B)=\iint_{B} 1\,dx\,dy = a b \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\,dr\,d\theta.Á
\operatorname{Área}(B)= a b \cdot \frac{1}{2}\cdot 2\pi = \pi a b.Á
Passo 7
Resumo final e observação amigável: usamos uma mudança de variáveis que “transforma” a elipse numa unidade de disco radial r\in[0,1], \theta\in[0,2\pi). O fator a b r vem do Jacobiano (escalamento dos eixos e do fator polar r). Para a área basta integrar 1 e obter \pi a b. Fica tranquilo: sempre que tiver uma elipse, sua área é \pi vezes o produto dos semi-eixos.
Resposta
\iint_{B} f(x, y)\,dx\,dy = a b \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\,f\bigl(a r\cos\theta,\; b r\sin\theta\bigr)\,dr\,d\theta