a) Seja B a elipse
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leq 1, a>0, b>0
Verique que
\iint_{B} f(x, y) d x d y=a b \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{1} r f(a r \cos \theta, b r \sin \theta) d r d \theta
b) Calcule a área limitada pela elipse
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, a>0, b>0

Passo 1

O enunciado pede duas coisas distintas:
  • (a) Verificar a identidade
\iint_{B} f(x, y)\,dx\,dy = a b \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\,f\bigl(a r\cos\theta,\; b r\sin\theta\bigr)\,dr\,d\theta,
onde B é a elipse
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\le 1,\qquad a>0,\; b>0.
  • (b) Calcular a área limitada pela elipse
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,\qquad a>0,\; b>0.
Informações dadas importantes: a>0 e b>0; a região B é o disco elíptico (inclui interior). Nada mais é pedido.

Passo 2

Vamos parametrizar a elipse (e sua região interior) por coordenadas análogas às coordenadas polares, escalando os eixos. Defina a transformação
T(r,\theta)=\bigl(x(r,\theta),y(r,\theta)\bigr) = \bigl(a r\cos\theta,\; b r\sin\theta\bigr),
com domínio
D=\{(r,\theta)\mid 0\le r\le 1,\; 0\le\theta<2\pi\}.
Mostre que a imagem de D por T é exatamente B. Para (r,\theta)\in D temos
\frac{x(r,\theta)^{2}}{a^{2}}+\frac{y(r,\theta)^{2}}{b^{2}} = r^{2}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta = r^{2}\bigl(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta\bigr) = r^{2}\le 1,
logo T(D)\subseteq B. Inversamente, dado (x,y)\in B definida por \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}\le 1, pode-se escolher
r=\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}}\in[0,1],\qquad \theta=\operatorname{atan2}\!\bigl(bx,\; ay\bigr)
(uma escolha de ângulo que satisfaz \cos\theta=\dfrac{x}{a r}, \sin\theta=\dfrac{y}{b r} quando r>0), obtendo (x,y)=T(r,\theta). Assim T(D)=B (exceto talvez o caso r=0, que corresponde ao ponto originário; isso não prejudica integrais).

Passo 3

Para aplicar a fórmula de mudança de variáveis precisamos do Jacobiano da transformação T. Calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial x}{\partial r}=a\cos\theta,\qquad \frac{\partial x}{\partial \theta}=-a r\sin\theta,
\frac{\partial y}{\partial r}=b\sin\theta,\qquad \frac{\partial y}{\partial \theta}=b r\cos\theta.
A matriz jacobiana (2×2) é
J_{T}(r,\theta)= \begin{pmatrix} \partial x/\partial r & \partial x/\partial \theta\\[4pt] \partial y/\partial r & \partial y/\partial \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a\cos\theta & -a r\sin\theta\\[4pt] b\sin\theta & b r\cos\theta \end{pmatrix}.
O determinante é
\det J_{T}(r,\theta) = (a\cos\theta)(b r\cos\theta) - (-a r\sin\theta)(b\sin\theta) = a b r\bigl(\cos^{2}\theta + \sin^{2}\theta\bigr) = a b r.
Como a>0, b>0 e r\ge 0, temos |\det J_{T}(r,\theta)|=a b r.]

Passo 4

Agora relembrar (breve aula) a fórmula de mudança de variáveis em integrais duplas: se T é uma transformação suave e bijetora quase em todo D e (x,y)=T(u,v), então para uma função integrável f,
\iint_{T(D)} f(x,y)\,dx\,dy = \iint_{D} f\bigl(x(u,v),y(u,v)\bigr)\,\bigl|\det J_{T}(u,v)\bigr|\,du\,dv.
Aqui usamos (u,v)=(r,\theta). Aplicando a fórmula com o T definido e o domínio D obtemos
\iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} f\bigl(a r\cos\theta,\; b r\sin\theta\bigr)\, \bigl| \det J_{T}(r,\theta)\bigr| \,dr\,d\theta.
Substituindo |\det J_{T}(r,\theta)|=a b r resulta exatamente
\iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy = a b \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\, f\bigl(a r\cos\theta,\; b r\sin\theta\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Comentário didático: por que apareceu o fator r multiplicando a b? Em coordenadas polares simples (sem alongamento) o jacobiano é r porque um pequeno retângulo em (r,\theta) tem área aproximada r\,\Delta r\,\Delta\theta. Ao escalarmos x por a e y por b, essa área é multiplicada por a b, dando a b r. Essa é a intuição geométrica do cálculo do determinante.

Passo 6

Agora resolvemos (b): calcular a área da elipse. A área é a integral da função constante f(x,y)=1 sobre B. Aplicando a fórmula já estabelecida,
\operatorname{Área}(B)=\iint_{B} 1\,dx\,dy = a b \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\,dr\,d\theta.Á
Calcule as integrais em ordem:
\int_{0}^{1} r\,dr = \left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{0}^{1} = \frac{1}{2},
\int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi.
Logo
\operatorname{Área}(B)= a b \cdot \frac{1}{2}\cdot 2\pi = \pi a b.Á

Passo 7

Resumo final e observação amigável: usamos uma mudança de variáveis que “transforma” a elipse numa unidade de disco radial r\in[0,1], \theta\in[0,2\pi). O fator a b r vem do Jacobiano (escalamento dos eixos e do fator polar r). Para a área basta integrar 1 e obter \pi a b. Fica tranquilo: sempre que tiver uma elipse, sua área é \pi vezes o produto dos semi-eixos.

Resposta

\iint_{B} f(x, y)\,dx\,dy = a b \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\,f\bigl(a r\cos\theta,\; b r\sin\theta\bigr)\,dr\,d\theta
\text{Área} = \pi a bÁ

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