Calcule o centro de massa de um fio em forma de arco de raio
, ângulo
e massa
.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- Calcular o centro de massa (as coordenadas
e ) de um fio fino com a forma de arco de círculo, de raio , ângulo total e massa total .
Informações dadas e suposições que vou usar (peguei isto da imagem apresentada):
- O arco é de um círculo de raio
com centro na origem do sistema de coordenadas. - O arco vai de
até (medida no sentido anti-horário a partir do eixo ). - A massa
está distribuída uniformemente ao longo do comprimento do fio (isto é, densidade linear constante). - Um elemento de arco é mostrado com comprimento
(o elemento diferencial de ângulo é ).
O enunciado, portanto, pede as coordenadas
do centro de massa em função de
,
e
.
Passo 2
Escolher parâmetros e definir densidade linear: vou parametrizar o arco pelo ângulo
. Para um fio uniformemente denso, a densidade linear (massa por comprimento) é
Explicação didática: a densidade linear
é quanto de massa existe por unidade de comprimento do fio. O comprimento total do arco é
(fórmula básica de arco de círculo), então dividimos a massa total
por esse comprimento para obter
. O elemento de massa associado a um pequeno pedaço de arco que corresponde a um pequeno ângulo
vale
Passo 3
Coordenadas do elemento e fórmulas integrais para o centro de massa: um ponto do arco com coordenada angular
tem coordenadas cartesianas
As coordenadas do centro de massa definem-se por média ponderada com
:
Substituindo
e
obtemos
Passo 4
Simplificar as expressões usando
: note que o fator
vai se cancelar. Faço isso passo a passo.
Para
:
Agora substituo
:
Portanto
Para
:
Detalhe do cálculo da integral:
, e avaliando de
a
dá
.
Passo 5
Interpretação e alguns casos especiais (para fixar a intuição):
- Resultado geral:
- Verificações rápidas:
- Se
(arco completo, circunferência inteira) então e , logo (centro de massa na origem), como esperado por simetria. - Se
(arco de um quarto de círculo de 0 a ) então (valor clássico para quarto de arco). - Para ângulo pequeno
(arco curto perto do eixo ): usando séries, e . Assim (ou seja, muito próximo de , como deve ser) e (pequena altura proporcional ao comprimento do arco).
- Se