Calcule o centro de massa de um fio em forma de arco de raio R, ângulo \theta_{\mathrm{o}} e massa M.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Calcular o centro de massa (as coordenadas x_{\rm cm} e y_{\rm cm}) de um fio fino com a forma de arco de círculo, de raio R, ângulo total \theta_{0} e massa total M.
Informações dadas e suposições que vou usar (peguei isto da imagem apresentada):
  • O arco é de um círculo de raio R com centro na origem do sistema de coordenadas.
  • O arco vai de \theta=0 até \theta=\theta_{0} (medida no sentido anti-horário a partir do eixo x).
  • A massa M está distribuída uniformemente ao longo do comprimento do fio (isto é, densidade linear constante).
  • Um elemento de arco é mostrado com comprimento R\,d\theta (o elemento diferencial de ângulo é d\theta).
O enunciado, portanto, pede as coordenadas \bigl(x_{\rm cm},y_{\rm cm}\bigr) do centro de massa em função de R, \theta_{0} e M.

Passo 2

Escolher parâmetros e definir densidade linear: vou parametrizar o arco pelo ângulo \theta\in[0,\theta_{0}]. Para um fio uniformemente denso, a densidade linear (massa por comprimento) é
\lambda=\frac{M}{\text{comprimento do arco}}=\frac{M}{R\,\theta_{0}}.
Explicação didática: a densidade linear \lambda é quanto de massa existe por unidade de comprimento do fio. O comprimento total do arco é R\theta_{0} (fórmula básica de arco de círculo), então dividimos a massa total M por esse comprimento para obter \lambda. O elemento de massa associado a um pequeno pedaço de arco que corresponde a um pequeno ângulo d\theta vale
dm=\lambda\,(\text{comprimento do pequeno arco})=\lambda\,(R\,d\theta).

Passo 3

Coordenadas do elemento e fórmulas integrais para o centro de massa: um ponto do arco com coordenada angular \theta tem coordenadas cartesianas
x(\theta)=R\cos\theta,\qquad y(\theta)=R\sin\theta.
As coordenadas do centro de massa definem-se por média ponderada com dm:
x_{\rm cm}=\frac{1}{M}\int x\,dm,\qquad y_{\rm cm}=\frac{1}{M}\int y\,dm.
Substituindo x(\theta),y(\theta) e dm=\lambda R\,d\theta obtemos
x_{\rm cm}=\frac{1}{M}\int_{0}^{\theta_{0}} \bigl(R\cos\theta\bigr)\,\lambda R\,d\theta, \qquad y_{\rm cm}=\frac{1}{M}\int_{0}^{\theta_{0}} \bigl(R\sin\theta\bigr)\,\lambda R\,d\theta.

Passo 4

Simplificar as expressões usando \lambda=\dfrac{M}{R\theta_{0}}: note que o fator M vai se cancelar. Faço isso passo a passo.
Para x_{\rm cm}:
x_{\rm cm}=\frac{1}{M}\,\lambda R^{2}\int_{0}^{\theta_{0}}\cos\theta\,d\theta =\frac{\lambda R^{2}}{M}\bigl[\sin\theta\bigr]_{0}^{\theta_{0}}.
Agora substituo \lambda=\dfrac{M}{R\theta_{0}}:
\frac{\lambda R^{2}}{M}=\frac{M}{R\theta_{0}}\cdot\frac{R^{2}}{M}=\frac{R}{\theta_{0}}.
Portanto
x_{\rm cm}=\frac{R}{\theta_{0}}\bigl(\sin\theta_{0}-\sin 0\bigr) =\frac{R}{\theta_{0}}\sin\theta_{0}.
Para y_{\rm cm}:
y_{\rm cm}=\frac{1}{M}\,\lambda R^{2}\int_{0}^{\theta_{0}}\sin\theta\,d\theta =\frac{\lambda R^{2}}{M}\bigl[-\cos\theta\bigr]_{0}^{\theta_{0}} =\frac{R}{\theta_{0}}\bigl(1-\cos\theta_{0}\bigr).
Detalhe do cálculo da integral: \int\sin\theta\,d\theta=-\cos\theta, e avaliando de 0 a \theta_{0} -\cos\theta_{0}-(-\cos 0)=1-\cos\theta_{0}.

Passo 5

Interpretação e alguns casos especiais (para fixar a intuição):
  • Resultado geral:
x_{\rm cm}=\frac{R\sin\theta_{0}}{\theta_{0}},\qquad y_{\rm cm}=\frac{R\bigl(1-\cos\theta_{0}\bigr)}{\theta_{0}}.
  • Verificações rápidas:
    • Se \theta_{0}=2\pi (arco completo, circunferência inteira) então \sin(2\pi)=0 e 1-\cos(2\pi)=0, logo x_{\rm cm}=y_{\rm cm}=0 (centro de massa na origem), como esperado por simetria.
    • Se \theta_{0}=\tfrac{\pi}{2} (arco de um quarto de círculo de 0 a \pi/2) então x_{\rm cm}=y_{\rm cm}=\dfrac{2R}{\pi} (valor clássico para quarto de arco).
    • Para ângulo pequeno \theta_{0}\ll 1 (arco curto perto do eixo x): usando séries, \sin\theta_{0}\approx\theta_{0}-\theta_{0}^{3}/6 e 1-\cos\theta_{0}\approx\theta_{0}^{2}/2. Assim x_{\rm cm}\approx R\bigl(1-\theta_{0}^{2}/6\bigr) (ou seja, muito próximo de R, como deve ser) e y_{\rm cm}\approx R\,\theta_{0}/2 (pequena altura proporcional ao comprimento do arco).

Resposta

x_{\rm cm}=\dfrac{R\sin\theta_{0}}{\theta_{0}}
y_{\rm cm}=\dfrac{R\bigl(1-\cos\theta_{0}\bigr)}{\theta_{0}}

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