Calcule o centro de massa da região D dada pelo semicírculo x^2+y^2 <= pi^2, y >= 0, onde a densidade superficial é a distância até a origem.
m=integral duplaD raizx^2+y^2 d A=integral0^pi integral0^pi r r d r d theta=pi^43 integral duplaD y raizx^2+y^2 d A=integral0^pi integral0^pi(r sen theta) r r d r d theta=pi^42
Por simetria, barx=0 e bary=pi^4 / 2pi^4 / 3=32.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o centro de massa da região D, que é um semicírculo definido por x^2+y^2 <= pi^2 e y >= 0. A densidade superficial dessa região é a distância até a origem, ou seja, raizx^2+y^2. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas em coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular a massa total da região D. A massa é dada pela integral dupla da densidade sobre a região. Como estamos lidando com um semicírculo, é mais fácil usar coordenadas polares, onde x = rcostheta e y = rsintheta. A densidade superficial raizx^2+y^2 em coordenadas polares vira simplesmente r. O elemento de área em coordenadas polares é r,dr,dtheta. Portanto, a massa m é:
m = integral duplaD r cdot r , dr , dtheta = integral duplaD r^2 , dr , dtheta

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração. Como é um semicírculo com raio pi, o raio r varia de 0 a pi. O ângulo theta para o semicírculo superior vai de 0 a pi. Assim, a integral fica:
m = integral0^pi integral0^pi r^2 , dr , dtheta

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a r:
integral0^pi r^2 , dr = [ r^33 ]0^pi = pi^33
Agora, substituímos isso na integral externa:
m = integral0^pi pi^33 , dtheta = pi^33 cdot pi = pi^43

Passo 5

Agora, vamos calcular os momentos em relação aos eixos para encontrar as coordenadas do centro de massa (barx, bary). Como a região é simétrica em relação ao eixo y, sabemos que barx = 0. Vamos focar em encontrar bary.
O momento em relação ao eixo x é dado por:
My = integral duplaD y cdot r , dr , dtheta
Em coordenadas polares, y = rsintheta, então:
My = integral duplaD rsintheta cdot r , dr , dtheta = integral duplaD r^2sintheta , dr , dtheta

Passo 6

Novamente, vamos usar os limites de r de 0 a pi e de theta de 0 a pi. Assim, a integral fica:
My = integral0^pi integral0^pi r^2sintheta , dr , dtheta
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a r:
integral0^pi r^2 , dr = pi^33
Agora, substituímos na integral externa:
My = integral0^pi pi^33 sintheta , dtheta = pi^33 cdot 2 = 2pi^33

Passo 7

Finalmente, a coordenada bary do centro de massa é o momento My dividido pela massa total m:
bary = Mym = 2pi^33pi^43 = 2pi

Resposta

O centro de massa da região D é (barx, bary) = (0, 2pi).

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