Calcule o centro de massa da região
dada pelo semicírculo
, onde a densidade superficial é a distância até a origem.
Por simetria,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar o centro de massa da região
, que é um semicírculo definido por
e
. A densidade superficial dessa região é a distância até a origem, ou seja,
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, especialmente integrais duplas em coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular a massa total da região
. A massa é dada pela integral dupla da densidade sobre a região. Como estamos lidando com um semicírculo, é mais fácil usar coordenadas polares, onde
e
. A densidade superficial
em coordenadas polares vira simplesmente
. O elemento de área em coordenadas polares é
. Portanto, a massa
é:
Passo 3
Vamos determinar os limites de integração. Como é um semicírculo com raio
, o raio
varia de
a
. O ângulo
para o semicírculo superior vai de
a
. Assim, a integral fica:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Agora, substituímos isso na integral externa:
Passo 5
Agora, vamos calcular os momentos em relação aos eixos para encontrar as coordenadas do centro de massa
. Como a região é simétrica em relação ao eixo
, sabemos que
. Vamos focar em encontrar
.
O momento em relação ao eixo
é dado por:
Em coordenadas polares,
, então:
Passo 6
Novamente, vamos usar os limites de
de
a
e de
de
a
. Assim, a integral fica:
Primeiro, resolvemos a integral interna em relação a
:
Agora, substituímos na integral externa:
Passo 7
Finalmente, a coordenada
do centro de massa é o momento
dividido pela massa total
:
Resposta
O centro de massa da região
é
.