Calcule
, onde
é limitado pelos hemisférios
pelo plano
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla de
sobre a região
, que é delimitada pelos hemisférios
e
, além do plano
. Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são super úteis para regiões com simetria esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as coordenadas esféricas. Nessas coordenadas, qualquer ponto no espaço é representado por
, onde:
-
é a distância do ponto até a origem. -
é o ângulo polar, medindo a inclinação a partir do eixo . -
é o ângulo azimutal, medindo a rotação no plano .
A relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas é dada por:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração para
,
e
. Os hemisférios
e
correspondem a esferas com raios 1 e 2, respectivamente. Então,
varia de 1 a 2.
Como a região está acima do plano
(onde
), o ângulo
vai de 0 a
para cobrir toda a esfera acima do plano
.
O ângulo
completa a rotação ao redor do eixo
, então vai de 0 a
.
Passo 4
Vamos montar a integral tripla em coordenadas esféricas. Queremos integrar
, que, em esféricas, é
. Então, a integral fica:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos integrar em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos separar a integração em
e
porque as variáveis são independentes:
Passo 8
Primeiro, calculamos
. Sabemos que:
Aplicando isso:
Passo 9
Agora, calculamos
. Usamos a identidade trigonométrica
:
Passo 10
Agora, juntando tudo: