Calcule integral triplaE x^2 d V, onde E é limitado pelos hemisférios y=raiz1-x^2-z^2, y=raiz4-x^2-z^2 e pelo plano x z.
integral triplaE x^2 d V=integral0^pi integral0^pi integral1^2(rho sen varphi cos theta)^2 rho^2 sen varphi d rho d varphi d theta=62 pi15

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral tripla de sobre a região , que é delimitada pelos hemisférios e , além do plano . Para resolver isso, vamos usar coordenadas esféricas, que são super úteis para regiões com simetria esférica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as coordenadas esféricas. Nessas coordenadas, qualquer ponto no espaço é representado por x = rho sin varphi cos theta , onde:
  • y = rho cos varphi é a distância do ponto até a origem.
  • z = rho sin varphi sin theta é o ângulo polar, medindo a inclinação a partir do eixo dV = rho^2 sin varphi , drho , dvarphi , dtheta .
  • é o ângulo azimutal, medindo a rotação no plano .
A relação entre as coordenadas cartesianas e esféricas é dada por:
E o elemento de volume em coordenadas esféricas é:

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração para , e . Os hemisférios e correspondem a esferas com raios 1 e 2, respectivamente. Então, varia de 1 a 2.
Como a região está acima do plano (onde ), o ângulo vai de 0 a para cobrir toda a esfera acima do plano .
O ângulo completa a rotação ao redor do eixo , então vai de 0 a .

Passo 4

Vamos montar a integral tripla em coordenadas esféricas. Queremos integrar integral triplaE x^2 , dV = integral0^pi integral0^pi integral1^2 (rho sin varphi cos theta)^2 cdot rho^2 sin varphi , drho , dvarphi , dtheta , que, em esféricas, é . Então, a integral fica:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
(rho sin varphi cos theta)^2 cdot rho^2 sin varphi = rho^2 sin^2 varphi cos^2 theta cdot rho^2 sin varphi = rho^4 sin^3 varphi cos^2 theta
Então, a integral fica:
integral triplaE x^2 , dV = integral0^pi integral0^pi integral1^2 rho^4 sin^3 varphi cos^2 theta , drho , dvarphi , dtheta

Passo 6

Agora, vamos integrar em relação a integral1^2 rho^4 , drho = [ rho^55 ]1^2 = 325 - 15 = 315 :
315 integral0^pi integral0^pi sin^3 varphi cos^2 theta , dvarphi , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos separar a integração em 315 ( integral0^pi sin^3 varphi , dvarphi ) ( integral0^pi cos^2 theta , dtheta ) e porque as variáveis são independentes:

Passo 8

Primeiro, calculamos integral sin^n x , dx = n-1n integral sin^n-2 x , dx . Sabemos que:
integral0^pi sin^3 varphi , dvarphi = 23 cdot 2 = 43
Aplicando isso:

Passo 9

Agora, calculamos integral0^pi cos^2 theta , dtheta = 12 integral0^pi (1 + cos 2theta) , dtheta = 12 [ theta + sin 2theta2 ]0^pi = pi2 . Usamos a identidade trigonométrica :

Passo 10

Agora, juntando tudo:
integral triplaE x^2 , dV = 315 cdot 43 cdot pi2 = 31 cdot 4 cdot pi5 cdot 3 cdot 2 = 124 pi30 = 62 pi15

Resposta

integral triplaE x^2 , dV = 62 pi15

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