Resolva os PVIs usando o método das variáveis separáveis.
ly^prime=x^2 y y(0)=7

Passo 1

O enunciado dá um PVI de uma equação diferencial de primeira ordem: y'=x^2y com a condição inicial y(0)=7. O conteúdo é separação de variáveis, onde vamos isolar y de um lado e x do outro para integrar.

Passo 2

Começamos separando as variáveis. Partindo de
dydx=x^2,y
dividimos por y e multiplicamos por dx:
1y,dy=x^2,dx

Passo 3

Em seguida, integramos os dois lados:
integral1y,dy=integral x^2,dx
Isso gera a relação
ln|y|=x^33+C

Passo 4

Exponenciamos para resolver em termos de y:
y=e^ln|y|=e^x^33+C=e^C,e^x^33
Denotando K=e^C, obtemos a solução geral
y=K,e^x^33

Passo 5

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=7. Substituindo x=0 e y=7 em
y=K,e^x^33
temos
7=K,e^0Rightarrow K=7

Resposta

y=7e^tfracx^33

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