Resolva os PVIs usando o método das variáveis separáveis.
l-3 x^2 d x+(4 y-cos y) d y=0 y(0)=pi

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial. O enunciado é para resolver a seguinte equação usando o método das variáveis separáveis:
-3x^2 , dx + (4y - cos y) , dy = 0 y(0) = pi
Vamos precisar entender como separar as variáveis x e y para integrar cada lado da equação de forma independente.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para separar x e y. A equação dada é:
-3x^2 , dx + (4y - cos y) , dy = 0
Podemos mover o termo de x para o outro lado:
(4y - cos y) , dy = 3x^2 , dx
Assim, agora temos os termos de y de um lado e os termos de x do outro, o que é essencial para aplicar o método das variáveis separáveis.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é que, se conseguimos separar as variáveis, podemos integrar em relação a cada uma delas independentemente.
Integramos o lado esquerdo com respeito a y:
integral (4y - cos y) , dy = integral 4y , dy - integral cos y , dy = 2y^2 - sin y + C1
E integramos o lado direito com respeito a x:
integral 3x^2 , dx = x^3 + C2

Passo 4

Agora, igualamos as integrais obtidas:
2y^2 - sin y + C1 = x^3 + C2
Podemos simplificar isso combinando as constantes C1 e C2 em uma única constante C:
2y^2 - sin y = x^3 + C

Passo 5

Agora, precisamos usar a condição inicial para encontrar o valor da constante C. A condição dada é y(0) = pi, ou seja, quando x = 0, y = pi.
Substituindo esses valores na equação:
2(pi)^2 - sin(pi) = 0^3 + C
Sabemos que sin(pi) = 0, então:
2pi^2 = C

Passo 6

Com o valor de C encontrado, substituímos de volta na equação geral:
2y^2 - sin y = x^3 + 2pi^2

Resposta

A solução do PVI é dada por:
2y^2 - sin y = x^3 + 2pi^2

Exercícios relacionados