Resolva os PVIs usando o método das variáveis separáveis.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial. O enunciado é para resolver a seguinte equação usando o método das variáveis separáveis:
Vamos precisar entender como separar as variáveis
e
para integrar cada lado da equação de forma independente.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para separar
e
. A equação dada é:
Podemos mover o termo de
para o outro lado:
Assim, agora temos os termos de
de um lado e os termos de
do outro, o que é essencial para aplicar o método das variáveis separáveis.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é que, se conseguimos separar as variáveis, podemos integrar em relação a cada uma delas independentemente.
Integramos o lado esquerdo com respeito a
:
E integramos o lado direito com respeito a
:
Passo 4
Agora, igualamos as integrais obtidas:
Podemos simplificar isso combinando as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 5
Agora, precisamos usar a condição inicial para encontrar o valor da constante
. A condição dada é
, ou seja, quando
,
.
Substituindo esses valores na equação:
Sabemos que
, então:
Passo 6
Com o valor de
encontrado, substituímos de volta na equação geral:
Resposta
A solução do PVI é dada por: