Calcule as integrais.
\iint_{R} \frac{2 y}{x^{2}+1} d x d y, R=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq \sqrt{x}\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \frac{2y}{x^{2}+1}\,dx\,dy
onde a região R é
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le \sqrt{x}\}.
Informações relevantes dadas:
  • A função integranda é \dfrac{2y}{x^{2}+1}.
  • O domínio de integração é o conjunto de pontos com x variando de 0 a 1 e, para cada x, y variando de 0 a \sqrt{x}.
    A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral dupla.

Passo 2

Escolha do método e justificativa (explicando a teoria necessária de forma simples).
  • A integranda \dfrac{2y}{x^{2}+1} é contínua em toda a região R (pois x^{2}+1>0 sempre). Pelo Teorema de Fubini, podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada.
  • O enunciado já descreve limites na ordem dx\,dy confundível, mas a região foi dada naturalmente por 0\le x\le1 e 0\le y\le\sqrt{x}. Portanto é conveniente usar a ordem: integrar primeiro em y (com y de 0 a \sqrt{x}) e depois em x (de 0 a 1).
  • Observação prática: ao integrar primeiro em y, a parte que depende de y é simples (é polinomial em y), então a integral interna fica fácil.
Assim escrevemos a integral iterada:
\iint_{R}\frac{2y}{x^{2}+1}\,dx\,dy = \int_{x=0}^{1}\left(\int_{y=0}^{\sqrt{x}}\frac{2y}{x^{2}+1}\,dy\right)dx.

Passo 3

Calcular a integral interna em y.
  • Dentro da integral interna x é tratado como constante, então podemos fatorar 1/(x^{2}+1) para fora da integral em y:
\int_{y=0}^{\sqrt{x}}\frac{2y}{x^{2}+1}\,dy = \frac{1}{x^{2}+1}\int_{y=0}^{\sqrt{x}}2y\,dy.
  • Agora integramos em y. A primitiva de 2y em relação a y é y^{2}, pois \dfrac{d}{dy}(y^{2})=2y.
  • Avaliando nos limites 0 e \sqrt{x}:
\int_{y=0}^{\sqrt{x}}2y\,dy = \left[y^{2}\right]_{0}^{\sqrt{x}} = (\sqrt{x})^{2}-0 = x.
  • Portanto a integral interna vale
\int_{y=0}^{\sqrt{x}}\frac{2y}{x^{2}+1}\,dy = \frac{x}{x^{2}+1}.

Passo 4

Calcular a integral externa em x.
  • Substituindo o resultado do passo anterior, a integral dupla reduz-se a
\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx.
  • Para resolver essa integral use a substituição simples: seja \;u=x^{2}+1\;. Então \;du=2x\,dx\;, ou seja \;x\,dx=\dfrac{1}{2}du\;.
  • Quando x=0 temos u=0^{2}+1=1. Quando x=1 temos u=1^{2}+1=2.
  • A integral torna-se
\int_{0}^{1}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx = \frac{1}{2}\int_{u=1}^{2}\frac{1}{u}\,du.
  • A primitiva de 1/u é \ln u. Portanto
\frac{1}{2}\int_{1}^{2}\frac{1}{u}\,du = \frac{1}{2}\bigl[\ln u\bigr]_{1}^{2} = \frac{1}{2}(\ln 2 - \ln 1).
  • Como \ln 1 = 0, o resultado final é
\frac{1}{2}\ln 2.

Resposta

\dfrac{1}{2}\ln 2

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