Calcule as integrais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é
Informações relevantes dadas:
- A função integranda é
. - O domínio de integração é o conjunto de pontos com
variando de a e, para cada , variando de a .
A tarefa é calcular o valor numérico dessa integral dupla.
Passo 2
Escolha do método e justificativa (explicando a teoria necessária de forma simples).
- A integranda
é contínua em toda a região (pois sempre). Pelo Teorema de Fubini, podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada. - O enunciado já descreve limites na ordem
confundível, mas a região foi dada naturalmente por e . Portanto é conveniente usar a ordem: integrar primeiro em (com de a ) e depois em (de a ). - Observação prática: ao integrar primeiro em
, a parte que depende de é simples (é polinomial em ), então a integral interna fica fácil.
Assim escrevemos a integral iterada:
Passo 3
Calcular a integral interna em
.
- Dentro da integral interna
é tratado como constante, então podemos fatorar para fora da integral em :
- Agora integramos em
. A primitiva de em relação a é , pois . - Avaliando nos limites
e :
- Portanto a integral interna vale
Passo 4
Calcular a integral externa em
.
- Substituindo o resultado do passo anterior, a integral dupla reduz-se a
- Para resolver essa integral use a substituição simples: seja
. Então , ou seja . - Quando
temos . Quando temos . - A integral torna-se
- A primitiva de
é . Portanto
- Como
, o resultado final é