Calcule o centro de massa da semiesfera homogênea
. (Resp. (0,0,3r/8))
Passo 1
Temos uma semiesfera homogênea definida por
e
. O conteúdo aqui é cálculo de centro de massa usando integrais triplas e simetria, e vamos precisar usar coordenadas cilíndricas e explorar a simetria do corpo.
Passo 2
Por simetria em torno do eixo
, os momentos em
e
se anulam, logo
e
. O único componente não nulo do centro de massa é
, dado por
, onde
é o volume da semiesfera.
Passo 3
O volume da semiesfera é metade do volume da esfera de raio
. Sabendo que a esfera inteira tem volume
, temos
Passo 4
Calculamos o momento
em coordenadas cilíndricas
, com
onde
Fazendo a integral em
e em seguida em
e
, encontra-se
Passo 5
Finalmente, o componente
do centro de massa é
$$\bar z = \frac{1}{V} \iiint z,dV = \frac{\pi r^4/4}{(2/3)\pi r^3} = \frac{3r}{8}.
$$
Portanto, o centro de massa da semiesfera é .
Portanto, o centro de massa da semiesfera é
Resposta
(0,0,3r/8)