Calcule o centro de massa da semiesfera homogênea x^2+y^2+z^2 <= r^2 e z >= 0(r>0). (Resp. (0,0,3r/8))

Passo 1

Temos uma semiesfera homogênea definida por x^2 + y^2 + z^2 <= r^2 e z >= 0. O conteúdo aqui é cálculo de centro de massa usando integrais triplas e simetria, e vamos precisar usar coordenadas cilíndricas e explorar a simetria do corpo.

Passo 2

Por simetria em torno do eixo z, os momentos em x e y se anulam, logo bar x = 0 e bar y = 0. O único componente não nulo do centro de massa é bar z, dado por bar z = dfrac1Vintegral tripla z,dV, onde V é o volume da semiesfera.

Passo 3

O volume da semiesfera é metade do volume da esfera de raio r. Sabendo que a esfera inteira tem volume 43pi r^3, temos
V = 12 cdot 43pi r^3 = 23pi r^3

Passo 4

Calculamos o momento integral tripla z,dV em coordenadas cilíndricas (rho,theta,z), com
0 <= theta <= 2pi, 0 <= rho <= r, 0 <= z <= raizr^2 - rho^2,
onde dV = rho,drho,dtheta,dz. Assim,
integral tripla z,dV = integral0^2pi ! dtheta integral0^r rho,drho integral0^raizr^2 - rho^2 z,dz
Fazendo a integral em z e em seguida em rho e theta, encontra-se
integral tripla z,dV = pi r^44

Passo 5

Finalmente, o componente z do centro de massa é
$$\bar z = \frac{1}{V} \iiint z,dV = \frac{\pi r^4/4}{(2/3)\pi r^3} = \frac{3r}{8}.
$$
Portanto, o centro de massa da semiesfera é bar z = 1V integral tripla z,dV = pi r^4/4(2/3)pi r^3 = 3r8 .

Resposta

(0,0,3r/8)

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