Teste a convergência ou divergência da série
sumn=1^infty (n+1) 7^n2^3 n+1

Passo 1

O enunciado pede para testar se a série sumn=1^infty (n+1)7^n2^3n+1 converge ou diverge; vamos usar conteúdo de séries numéricas e o teste da razão para resolver.

Passo 2

Primeiro, simplificamos o termo geral an. Observamos que 2^3n+1 = 2cdot(2^3)^n = 2cdot8^n, logo:
an = (n+1)7^n2^3n+1 = n+12(78)^n

Passo 3

Agora aplicamos o teste da razão, que diz que se
L = limntoinfty|an+1an| < 1,
então a série converge absolutamente. Calculamos:
an+1an = n+22(tfrac78)^n+1n+12(tfrac78)^n = n+2n+1cdot78
Tomando o limite:
L = limntoinftyn+2n+1cdot78 = 1cdot78 = 78

Passo 4

Como L = 7/8 < 1, concluímos pelo teste da razão que a série converge absolutamente e, portanto, converge.

Resposta

A série converge absolutamente por teste da razão, pois o limite L = 7/8 < 1.

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