Calcule as seguintes integrais iteradas:
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}^{2} z d z d x d y ;
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa calcular uma integral tripla: . O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais iteradas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções passo a passo, lidando com cada variável uma de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte mais interna da integral, que é . Precisamos calcular essa integral em relação a .
Passo 3
Para integrar , podemos usar uma identidade trigonométrica para simplificar. Sabemos que:
Isso facilita a integração.
Passo 4
Agora, substituímos pela identidade:
Passo 5
Vamos integrar agora termo a termo:
A integral de 1 em relação a é simplesmente , e a integral de é .
Passo 6
Calculando as integrais:
Passo 7
Agora que já integramos em relação a z, a expressão fica:
integral0^1 integral0^1 pi2 , dx , dy
Como pi2 é constante, podemos remover da integral.