Calcule as seguintes integrais iteradas:
$\int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}^{2} z d z d x d y ;

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício. A gente precisa calcular uma integral tripla: integral0^1 integral0^1 integral0^pi sin^2 z , dz , dx , dy. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais iteradas. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções passo a passo, lidando com cada variável uma de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte mais interna da integral, que é integral0^pi sin^2 z , dz. Precisamos calcular essa integral em relação a z.

Passo 3

Para integrar sin^2 z, podemos usar uma identidade trigonométrica para simplificar. Sabemos que:
sin^2 z = 1 - cos(2z)2
Isso facilita a integração.

Passo 4

Agora, substituímos sin^2 z pela identidade:
integral0^pi sin^2 z , dz = integral0^pi 1 - cos(2z)2 , dz = 12 integral0^pi (1 - cos(2z)) , dz

Passo 5

Vamos integrar agora termo a termo:
12 [ integral0^pi 1 , dz - integral0^pi cos(2z) , dz ]
A integral de 1 em relação a z é simplesmente z, e a integral de cos(2z) é sin(2z)2.

Passo 6

Calculando as integrais:
12 [ z g|0^pi - sin(2z)2 g|0^pi ] = 12 [ pi - 0 - ( sin(2pi)2 - sin(0)2 ) ] = 12 (pi - 0) = pi2

Passo 7

Agora que já integramos em relação a z, a expressão fica:
integral0^1 integral0^1 pi2 , dx , dy
Como pi2 é constante, podemos remover da integral.

Passo 8

Agora, integramos em relação a x:
integral0^1 pi2 , dx = pi2 cdot (1 - 0) = pi2

Passo 9

Por fim, integramos em relação a y:
integral0^1 pi2 , dy = pi2 cdot (1 - 0) = pi2

Resposta

O valor da integral tripla é pi2.

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