Calcule o centro de massa do setor circular A dado por x^2+y^2 <= R^2, 0 <= y <= alpha x e 0 <= x <= R, com R>0 e 0<alpha.
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Passo 1

O enunciado pede o centro de massa do setor circular
A=(x,y)mid x^2+y^2<= R^2,;0<= y<= alpha x,;0<= x<= R,
sendo R>0 e alpha>0.
O conteúdo é cálculo de centro de massa de uma região plana uniforme e vamos usar coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta
A linha y=alpha x vira tantheta=alpha, ou seja theta=varphi com varphi=arctanalpha. Portanto o setor é
0<= r<= R, 0<=theta<=varphi

Passo 3

Calculamos a área
A=integral0^varphi!!integral0^Rr,dr,dtheta =integral0^varphiR^22,dtheta =R^22,varphi

Passo 4

O momento em x é
integral duplaAx,dA =integral0^varphi!!integral0^R(rcostheta),r,dr,dtheta =integral0^varphicostheta,dtheta;integral0^Rr^2dr =sinvarphi;R^33
Logo
bar x=1Aintegral duplaAx,dA =R^33sinvarphiR^22varphi =2R3varphisinvarphi

Passo 5

O momento em y é
integral duplaAy,dA =integral0^varphi!!integral0^R(rsintheta),r,dr,dtheta =integral0^varphisintheta,dtheta;R^33 =(1-cosvarphi);R^33
Logo
bar y=1Aintegral duplaAy,dA =R^33(1-cosvarphi)R^22varphi =2R3varphi(1-cosvarphi)

Passo 6

Substituindo varphi=arctanalpha, sinvarphi=alpharaiz1+alpha^2 e cosvarphi=1raiz1+alpha^2, obtemos
bar x=2R3arctanalpha,alpharaiz1+alpha^2, bar y=2R3arctanalphal(1-1raiz1+alpha^2r)

Resposta

bar x=2R3arctanalpha,alpharaiz1+alpha^2
bar y=2R3arctanalphal(1-1raiz1+alpha^2r)

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