Exercício 2: Seja
o sólido limitado pelas superfícies
e
.
a) Escreva a integral tripla de uma função
contínua e genérica sobre o sólido
em coordenadas esféricas.
b) Escreva a integral tripla de uma função
contínua e genérica sobre o sólido
em coordenadas cilíndricas.
a) Escreva a integral tripla de uma função
b) Escreva a integral tripla de uma função
Passo 1
O sólido
é a região entre o plano
e a superfície
ou seja, para cada ponto no eixo
, a projeção no plano
satisfaz
. Vamos montar a integral tripla de
em coordenadas esféricas (parte a) e cilíndricas (parte b).
Passo 2
Para usar coordenadas esféricas aproveitando a simetria em torno do eixo
, definimos
com jacobiano
.
A superfície torna-se
A superfície
O plano
dá
, ou seja
. Logo
A integral em coordenadas esféricas é
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas (eixo
vertical), colocamos
com jacobiano
. A condição
vira
e o plano
dá
. Assim
A integral em coordenadas cilíndricas é
Resposta
a)
b)