Exercício 2: Seja R o sólido limitado pelas superfícies y=5 e y=raiz(x^2+z^2) / 3.
a) Escreva a integral tripla de uma função g(x, y, z) contínua e genérica sobre o sólido R em coordenadas esféricas.
b) Escreva a integral tripla de uma função g(x, y, z) contínua e genérica sobre o sólido R em coordenadas cilíndricas.

Passo 1

O sólido R é a região entre o plano y=5 e a superfície
y = raizx^2 + z^23
ou seja, para cada ponto no eixo y, a projeção no plano xz satisfaz x^2+z^2<= 75. Vamos montar a integral tripla de g(x,y,z) em coordenadas esféricas (parte a) e cilíndricas (parte b).

Passo 2

Para usar coordenadas esféricas aproveitando a simetria em torno do eixo y, definimos
x = rhosinphicostheta, y = rhocosphi, z = rhosinphisintheta,
com jacobiano rho^2sinphi.
A superfície y = raiztfracx^2+z^23 torna-se
rhocosphi = raizrho^2sin^2phi3 ;Longrightarrow; tan^2phi = 3 ;Longrightarrow; phi = pi3
O plano y=5 rhocosphi=5, ou seja rho=5/cosphi. Logo
0<=theta<=2pi, 0<=phi<=pi3, 0<=rho<=5cosphi
A integral em coordenadas esféricas é
integraltheta=0^2pi integralphi=0^pi/3 integralrho=0^5/cosphi gl(rhosinphicostheta,;rhocosphi,;rhosinphisinthetar) ;rho^2sinphi;drho,dphi,dtheta

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas (eixo y vertical), colocamos
x = rcostheta, y = y, z = rsintheta,
com jacobiano r. A condição y=raiz(x^2+z^2)/3 vira y=r/raiz3 e o plano y=5 r/raiz3<=5implies r<=5raiz3. Assim
0<=theta<=2pi, 0<= r<=5raiz3, rraiz3<= y<=5
A integral em coordenadas cilíndricas é
integraltheta=0^2pi integralr=0^5raiz3 integraly=r/raiz3^5 gl(rcostheta,;y,;rsinthetar) ;r;dy,dr,dtheta

Resposta

a)
integraltheta=0^2pi integralphi=0^pi/3 integralrho=0^5/cosphi gl(rhosinphicostheta,;rhocosphi,;rhosinphisinthetar) ;rho^2sinphi;drho,dphi,dtheta
b)
integraltheta=0^2pi integralr=0^5raiz3 integraly=r/raiz3^5 gl(rcostheta,;y,;rsinthetar) ;r;dy,dr,dtheta

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