O Teorema do Valor Médio afirma que, se uma função f é contínua em [a, b] e derivável em (a, b), então existe x0 in(a, b) tal que
f^prime(x0)=f(b)-f(a)b-a
Os passos seguintes fornecem a prova deste importante teorema. (veja Teorema 1 do Texto 2)
(a) Verifique que, se r(x) é a reta que passa por (a, f(a)) e (b, f(b)), então
r(x)=f(a)+f(b)-f(a)b-a(x-a)
(b) Para g(x)=f(x)-r(x), verifique que g(a)=g(b)=0.
(c) Lembrando que g tem máximo e mínimo em [a, b], conclua que g^prime(x0)=0 para algum x0 in(a, b).
(d) Verifique que o ponto x0 obtido no item acima satisfaz a equação (1).

Passo 1

O enunciado pede a prova do Teorema do Valor Médio, que diz: se f é contínua em [a,b] e derivável em (a,b), então existe x0in(a,b) tal que
f'(x0)=f(b)-f(a)b-a
Para isso vamos: (a) escrever a equação da reta r que une (a,f(a)) e (b,f(b)); (b) definir g(x)=f(x)-r(x) e mostrar que g(a)=g(b)=0; (c) aplicar o Teorema de Rolle a g; (d) concluir que o x0 de Rolle satisfaz a igualdade acima.

Passo 2

A reta r(x) que passa por (a,f(a)) e (b,f(b)) tem coeficiente angular
m=f(b)-f(a)b-a,
e, escrevendo a forma ponto-inclinação, fica
r(x)=f(a)+m,(x-a)
Substituindo m obtemos
r(x)=f(a)+f(b)-f(a)b-a(x-a),
como era para verificar.

Passo 3

Definimos
g(x)=f(x)-r(x)
Então
g(a)=f(a)-l(f(a)+f(b)-f(a)b-a(a-a)r)=0
e
g(b)=f(b)-l(f(a)+f(b)-f(a)b-a(b-a)r) =f(b)-l(f(a)+f(b)-f(a)r)=0

Passo 4

Como f é contínua em [a,b] e derivável em (a,b), e r é polinomial (logo contínua e derivável em todo lugar), segue que g é contínua em [a,b] e derivável em (a,b). Pelo Teorema de Rolle, existe x0in(a,b) tal que
g'(x0)=0

Passo 5

Calculamos
g'(x)=f'(x)-r'(x)
Mas r'(x)=dfracf(b)-f(a)b-a é constante, logo em x0 temos
0=g'(x0)=f'(x0)-f(b)-f(a)b-a Longrightarrow f'(x0)=f(b)-f(a)b-a

Resposta

Existe x0in(a,b) tal que
f'(x0)=f(b)-f(a)b-a,
o que completa a prova do Teorema do Valor Médio.

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