O Teorema do Valor Médio afirma que, se uma função
é contínua em
e derivável em
, então existe
tal que
Os passos seguintes fornecem a prova deste importante teorema. (veja Teorema 1 do Texto 2)
(a) Verifique que, se
é a reta que passa por
e
, então
(b) Para
, verifique que
.
(c) Lembrando que
tem máximo e mínimo em
, conclua que
para algum
.
(d) Verifique que o ponto
obtido no item acima satisfaz a equação (1).
(a) Verifique que, se
(c) Lembrando que
(d) Verifique que o ponto
Passo 1
O enunciado pede a prova do Teorema do Valor Médio, que diz: se
é contínua em
e derivável em
, então existe
tal que
Para isso vamos: (a) escrever a equação da reta
que une
e
; (b) definir
e mostrar que
; (c) aplicar o Teorema de Rolle a
; (d) concluir que o
de Rolle satisfaz a igualdade acima.
Passo 2
A reta
que passa por
e
tem coeficiente angular
e, escrevendo a forma ponto-inclinação, fica
Substituindo
obtemos
como era para verificar.
Passo 3
Definimos
Então
e
Passo 4
Como
é contínua em
e derivável em
, e
é polinomial (logo contínua e derivável em todo lugar), segue que
é contínua em
e derivável em
. Pelo Teorema de Rolle, existe
tal que
Passo 5
Calculamos
Mas
é constante, logo em
temos
Resposta
Existe
tal que
o que completa a prova do Teorema do Valor Médio.