Determine o centro de massa da região A dada por 1 <= x^2+y^2 <= 4, x >= 0 e y >= 0. (Sugestão: Com as funções f e g dadas por f(x)=raiz4-x^2, 0 <= x <= 2 e g(x)=raiz1-x^2 se 0 <= x <= 1 ou g(x)=0 se 1<x <= 2 o teorema de Papus se aplica. Calcule então Vy^prime Vx e a área de A e utilize o Exercício 10. Compare a sua solução com a do Exemplo 4.)

Passo 1

O enunciado pede o centro de massa (ou centróide) da região A definida por
1 <= x^2+y^2<= 4, x>=0, y>=0
Estamos em Cálculo II e vamos usar coordenadas polares para calcular a área de A e os momentos de primeira ordem My=integral duplaA x,dA e Mx=integral duplaA y,dA. Finalmente dividiremos cada momento pela área para obter bar x e bar y.

Passo 2

Em coordenadas polares têm-se x=rcostheta, y=rsintheta e dA=r,dr,dtheta. O domínio é
1<= r<=2, 0<=theta<=pi2
Logo a área de A é
A=integral0^pi/2!integral1^2r,dr,dtheta =integral0^pi/2l[tfracr^22r]1^2dtheta =integral0^pi/24-12,dtheta =32cdotpi2 =3pi4

Passo 3

O momento em relação ao eixo y é
My =integral duplaAx,dA =integral0^pi/2!integral1^2(rcostheta),r,dr,dtheta =l(integral1^2r^2,drr)l(integral0^pi/2costheta,dthetar)
Calculando:
integral1^2r^2,dr=73, integral0^pi/2costheta,dtheta=1,
logo
My=73cdot 1=73

Passo 4

O momento em relação ao eixo x é
Mx =integral duplaAy,dA =integral0^pi/2!integral1^2(rsintheta),r,dr,dtheta =l(integral1^2r^2,drr)l(integral0^pi/2sintheta,dthetar)
Como já temos integral1^2r^2,dr=7/3 e
integral0^pi/2sintheta,dtheta=1,
segue
Mx=73

Passo 5

As coordenadas do centróide são
bar x=MyA =tfrac73tfrac3pi4 =73cdot43pi =289pi,
bar y=MxA =tfrac73tfrac3pi4 =289pi

Resposta

O centro de massa da região A é
l(bar x,bar yr) =l(tfrac289pi,,tfrac289pir)

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