Calcule o centroide da região delimitada pelas curvas dadas.
(a) y=x^2, x=y^2
(d) y=x^3, x+y=2, y=0
(b) y=2-x^2, y=x
© y=sin x, y=cos x, x=0, x=pi4
(e) x+y=2, x=y^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular o centroide ( bar x,bar y) de cinco regiões distintas delimitadas por curvas no plano. O conteúdo é geometria de calculo integral: vamos usar fórmulas padrão para regiões do tipo I (entre duas funções y=f(x) e y=g(x)) e do tipo II (entre x=f(y) e x=g(y)). Em cada caso precisamos: 1) determinar os pontos de interseção, 2) calcular a área A, 3) calcular bar x e bar y pelas integrais apropriadas.

Passo 2

Para regiões do tipo I em a<= x<= b com topo y=f(x) e base y=g(x), usamos
A=integrala^bl(f(x)-g(x)r),dx,
bar x=1Aintegrala^b xl(f(x)-g(x)r),dx,
bar y=12Aintegrala^bl(f(x)^2-g(x)^2r),dx
Para regiões tipo II em c<= y<= d com fronteiras x=h1(y) e x=h2(y), usamos
A=integralc^dl(h2(y)-h1(y)r),dy,
bar x=1Aintegralc^d ybloco incorreto? Corri>=!

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