Encontre o comprimento de arco da curva do ponto
ao ponto
(a)
(b)
(a)
(b)
Passo 1
O exercício pede o comprimento de arco de duas curvas: (a)
entre
e
; (b)
entre
e
. Vamos usar a fórmula de comprimento de arco para
e para
:
Para :
Para
Para
:
Passo 2
Para a parte (a), temos
. Derivando:
Então o comprimento é
Passo 3
Para resolver essa integral, usamos a antiderivada conhecida:
Passo 4
Como o integrando é par, dá pra usar simetria:
Avaliar de 0 a 1 na antiderivada resulta em
Passo 5
Na parte (b), escrevemos
como
já que entre
e
temos
. Derivando em relação a
:
Aplicamos a fórmula para
:
Passo 6
Dentro da raiz fica:
Logo o integral simplifica para
Passo 7
Fazendo a substituição
,
, temos
Como
e
,
Resposta
(a)
(b)
(b)