Encontre o comprimento de arco da curva do ponto P ao ponto Q
(a) y=12 x^2, P(-1,1 / 2), Q(1,1 / 2)
(b) x^2=(y-4)^3, P(1,5), Q(8,8)

Passo 1

O exercício pede o comprimento de arco de duas curvas: (a) y=tfrac12x^2 entre P(-1,tfrac12) e Q(1,tfrac12); (b) x^2=(y-4)^3 entre P(1,5) e Q(8,8). Vamos usar a fórmula de comprimento de arco para y=f(x) e para x=g(y):
Para y=f(x):
L=integrala^braiz1+[f'(x)]^2,dx
Para x=g(y):
L=integraly1^y2raiz1+[g'(y)]^2,dy

Passo 2

Para a parte (a), temos y=tfrac12x^2. Derivando:
f'(x)=x
Então o comprimento é
L=integral-1^1raiz1+x^2,dx

Passo 3

Para resolver essa integral, usamos a antiderivada conhecida:
integralraiz1+x^2,dx=x2raiz1+x^2+12lnl(x+raiz1+x^2r)+C

Passo 4

Como o integrando é par, dá pra usar simetria:
L=2integral0^1raiz1+x^2,dx
Avaliar de 0 a 1 na antiderivada resulta em
L=2l[x2raiz1+x^2+12ln(x+raiz1+x^2)r]0^1=raiz2+ln(1+raiz2)

Passo 5

Na parte (b), escrevemos x^2=(y-4)^3 como
x=(y-4)^3/2,
já que entre y=5 e y=8 temos x>0. Derivando em relação a y:
g'(y)=dxdy=32(y-4)^1/2
Aplicamos a fórmula para x=g(y):
L=integral5^8raiz1+l(tfrac32(y-4)^1/2r)^2,dy

Passo 6

Dentro da raiz fica:
1+94(y-4)=4+9(y-4)4=9y-324
Logo o integral simplifica para
L=integral5^812raiz9y-32,dy

Passo 7

Fazendo a substituição u=9y-32, du=9,dy, temos
L=12integral5^8raiz9y-32,dy=118integralu(5)^u(8)u^1/2,du=127l[u^3/2r]13^40
Como u(5)=13 e u(8)=40,
L=127l(40^3/2-13^3/2r)=80raiz10-13raiz1327

Resposta

(a) L=raiz2+ln(1+raiz2)
(b) L=dfrac80raiz10-13raiz1327

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