Calcule o centróide da região limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
A gente quer achar o centróide da região plana limitada pelas curvas
,
e
. Esse é um problema de coordenadas de centróide de áreas — precisamos calcular a área
da região e os momentos estáticos
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos achar os pontos de interseção dessas curvas para entender a forma da região. Resolvendo
com
dá
, ponto
. Resolvendo
com
dá
, ponto
. E resolvendo
(parábola com reta) obtemos
ou
, mas só fica no nosso intervalo
o
com
, ponto
.
Entre esses três pontos — ,
,
— a curva fecha o contorno que vamos integrar. Note que, para
, a curva superior é a parábola
; e, para
, a curva superior é a reta
; em todos os casos, a curva inferior é
.
Entre esses três pontos —
Passo 3
Agora escrevemos a área
como soma de integrais de altura:
Passo 4
Calculando cada parte:
Logo,
Passo 5
Para encontrar
, fazemos:
Passo 6
Calculando:
Assim
Passo 7
Para calcular
, usamos a fórmula de 1/2 vez o quadrado da função limite:
Passo 8
Calculando:
logo
Passo 9
Por fim, o centróide é dado por
Resposta
O centróide da região é
.