Calcule o centróide da região limitada pelas curvas y=x^2, x+y=2 e y=0.

Passo 1

A gente quer achar o centróide da região plana limitada pelas curvas y=x^2, x+y=2 e y=0. Esse é um problema de coordenadas de centróide de áreas — precisamos calcular a área A da região e os momentos estáticos My=integral dupla x,dA e Mx=integral dupla y,dA.

Passo 2

Primeiro, vamos achar os pontos de interseção dessas curvas para entender a forma da região. Resolvendo y=0 com y=x^2 x=0, ponto (0,0). Resolvendo y=0 com x+y=2 x=2, ponto (2,0). E resolvendo x^2=2-x (parábola com reta) obtemos x=1 ou x=-2, mas só fica no nosso intervalo [0,2] o x=1 com y=1, ponto (1,1).
Entre esses três pontos — (0,0), (1,1), (2,0) — a curva fecha o contorno que vamos integrar. Note que, para 0<= x<=1, a curva superior é a parábola y=x^2; e, para 1<= x<=2, a curva superior é a reta y=2-x; em todos os casos, a curva inferior é y=0.

Passo 3

Agora escrevemos a área A como soma de integrais de altura:
A = integral0^1 x^2,dx + integral1^2 (2 - x),dx

Passo 4

Calculando cada parte:
integral0^1 x^2,dx = 13, integral1^2 (2 - x),dx = l[2x - tfracx^22r]1^2 = l(4-2r) - l(2-tfrac12r)=tfrac12
Logo,
A = 13 + 12 = 56

Passo 5

Para encontrar My=integral dupla x,dA, fazemos:
My = integral0^1 l(integral0^x^2 x,dyr)dx + integral1^2l(integral0^2-x x,dyr)dx = integral0^1 x,(x^2),dx + integral1^2 x(2-x),dx

Passo 6

Calculando:
integral0^1 x^3,dx = tfrac14, integral1^2 (2x - x^2),dx = l[x^2 - tfracx^33r]1^2 = l(4-tfrac83r) - l(1-tfrac13r)=tfrac23
Assim
My = tfrac14 + tfrac23 = tfrac1112

Passo 7

Para calcular Mx=integral dupla y,dA, usamos a fórmula de 1/2 vez o quadrado da função limite:
Mx = integral0^1 (x^2)^22,dx + integral1^2 (2-x)^22,dx = tfrac12l(integral0^1 x^4,dx + integral1^2 (2-x)^2,dxr)

Passo 8

Calculando:
integral0^1 x^4,dx = tfrac15, integral1^2 (2-x)^2,dx = tfrac13,
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Mx = tfrac12l(tfrac15+tfrac13r)=tfrac415

Passo 9

Por fim, o centróide é dado por
bar x = MyA = tfrac1112tfrac56 = 1110, bar y = MxA = tfrac415tfrac56 = 825

Resposta

O centróide da região é l(tfrac1110,,tfrac825r).

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