Seja uma lâmina delgada representada pela região D determinada por y=x, y=-x, x^2+y^2=2 x e x^2+y^2=4 x. Se a densidade em cada ponto P=(x, y) da lâmina é dada por de, determine:
a) a massa de D ;

Passo 1

O problema define uma lâmina D limitada pelas retas y=x, y=-x e pelos círculos x²+y²=2x e x²+y²=4x, com densidade em cada ponto dada por δ·1/(x²+y²). Queremos calcular a massa M = ∬_D δ/(x²+y²) dA, usando integração dupla.

Passo 2

Vamos usar coordenadas polares, onde x = r cosθ, y = r sinθ. Nesse caso temos dA = r dr dθ e x²+y² = r². A densidade fica δ/(r²), logo o integrando total é δ/(r²)·r = δ/r.

Passo 3

Precisamos expressar D em polares. Da equação x²+y²=2x obtemos r²=2r cosθ ⇒ r=2 cosθ. Similarmente, x²+y²=4x dá r=4 cosθ. As retas y=±x viram θ=±π/4. Como cosθ>0 nesse intervalo, os limites são θ de -π/4 a π/4 e r de 2 cosθ a 4 cosθ.

Passo 4

A integral da massa fica
M=integralθ=-pi/4^pi/4integralr=2cosθ^4cosθ δr ,dr,dθ

Passo 5

Calculemos primeiro a integral em r:
integral2cosθ^4cosθ1r,dr=lnl(4cosθr)-lnl(2cosθr)=ln2

Passo 6

Substituindo de volta, a integral em θ é
M=δintegral-pi/4^pi/4ln2,dθ=δ,ln2l(pi/4-(-pi/4)r)=δ,ln2,pi2

Resposta

M=pi,de

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