Seja uma lâmina delgada representada pela região D determinada por
e
. Se a densidade em cada ponto
da lâmina é dada por
, determine:
a) a massa de D ;
a) a massa de D ;
Passo 1
O problema define uma lâmina D limitada pelas retas y=x, y=-x e pelos círculos x²+y²=2x e x²+y²=4x, com densidade em cada ponto dada por δ·1/(x²+y²). Queremos calcular a massa M = ∬_D δ/(x²+y²) dA, usando integração dupla.
Passo 2
Vamos usar coordenadas polares, onde x = r cosθ, y = r sinθ. Nesse caso temos dA = r dr dθ e x²+y² = r². A densidade fica δ/(r²), logo o integrando total é δ/(r²)·r = δ/r.
Passo 3
Precisamos expressar D em polares. Da equação x²+y²=2x obtemos r²=2r cosθ ⇒ r=2 cosθ. Similarmente, x²+y²=4x dá r=4 cosθ. As retas y=±x viram θ=±π/4. Como cosθ>0 nesse intervalo, os limites são θ de -π/4 a π/4 e r de 2 cosθ a 4 cosθ.
Passo 4
A integral da massa fica
Passo 5
Calculemos primeiro a integral em r:
Passo 6
Substituindo de volta, a integral em θ é