Calcule o centróide da região limitada pela esfera \rho=a e pelo cone \varphi=a.

Passo 1

O enunciado pede o centróide da região em coordenadas esféricas limitada por \rho=a (esfera de raio a) e pelo cone de semi-ângulo constante \varphi=\varphi_{0}. Vamos usar coordenadas esféricas (\rho,\varphi,\theta), em que
0\le\rho\le a,
0\le\theta\le2\pi,
0\le\varphi\le\varphi_{0}.
O volume elementar é
dV=\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta
e o centróide (\bar x,\bar y,\bar z) tem por componentes
\bar x=\frac1V\iiint x\,dV,\quad \bar y=\frac1V\iiint y\,dV,\quad \bar z=\frac1V\iiint z\,dV.

Passo 2

Por simetria azimutal em \theta, temos \bar x=0 e \bar y=0. Só precisamos de
\bar z =\frac{1}{V}\iiint z\,dV =\frac{1}{V}\iiint (\rho\cos\varphi)\,\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Calculemos primeiro o volume V:
V =\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{\varphi=0}^{\varphi_{0}}\!\int_{\rho=0}^{a} \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta =2\pi\int_{0}^{\varphi_{0}}\sin\varphi\,d\varphi\int_{0}^{a}\rho^{2}d\rho =\frac{2\pi a^{3}}{3}\bigl(1-\cos\varphi_{0}\bigr).
Agora o numerador N=\iiint z\,dV:
N =\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{\varphi_{0}}\!\int_{0}^{a} \rho\cos\varphi\;\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta =2\pi\int_{0}^{\varphi_{0}}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi \int_{0}^{a}\rho^{3}d\rho.
Como
\displaystyle\int_{0}^{a}\rho^{3}d\rho=\tfrac{a^{4}}{4}
e
\displaystyle\int_{0}^{\varphi_{0}}\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi =\frac12\sin^{2}\varphi_{0},
vem
N =2\pi\cdot\frac12\sin^{2}\varphi_{0}\;\cdot\frac{a^{4}}{4} =\frac{\pi a^{4}}{4}\,\sin^{2}\varphi_{0}.

Passo 4

Assim
\bar z =\frac{N}{V} =\frac{\dfrac{\pi a^{4}}{4}\,\sin^{2}\varphi_{0}} {\dfrac{2\pi a^{3}}{3}\,(1-\cos\varphi_{0})} =\frac{3a}{8}\,\frac{\sin^{2}\varphi_{0}}{1-\cos\varphi_{0}} =\frac{3a}{8}\,\bigl(1+\cos\varphi_{0}\bigr).

Resposta

\displaystyle (\bar x,\bar y,\bar z) =\bigl(0,\;0,\;\tfrac{3a}{8}\,(1+\cos\varphi_{0})\bigr).

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