2- Dada a função f(t)=\left\{\begin{array}{lc}0, & -\pi<t<0 \\\ t, & 0<t<\pi\end{array}\right., Determine:
a) - A expressão geral para a série de Fourier que representa a função.
b)-os priminos termos da série.

Passo 1

O enunciado define a função periódica de período 2\pi\) \[f(t)= \begin{cases} 0, & -\pi<t<0,\\\ t, & 0<t<\pi, \end{cases}
e pede a série de Fourier de (f]. Vamos usar a forma
f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl[a_{n}\cos(nt)+b_{n}\sin(nt)\bigr]
com
a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,dt,\quad a_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos(nt)\,dt,\quad b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin(nt)\,dt.

Passo 2

Como f(t)=0 em -\pi<t<0 e f(t)=t em 0<t<\pi, temos
a_{0} =\frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}t\,dt =\frac{1}{\pi}\Bigl[\tfrac{t^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{\pi} =\frac{\pi^{2}}{2\pi} =\frac{\pi}{2}.

Passo 3

Para a_{n} calculamos
\int_{0}^{\pi}t\cos(nt)\,dt \quad\text{por partes com } u=t,\;dv=\cos(nt)\,dt
u'=dt,\quad v=\frac{\sin(nt)}{n} \quad\Longrightarrow\quad \int_{0}^{\pi}t\cos(nt)\,dt =\Bigl[t\frac{\sin(nt)}{n}\Bigr]_{0}^{\pi} -\int_{0}^{\pi}\frac{\sin(nt)}{n}\,dt =\frac{(-1)^{n}-1}{n^{2}}.
Logo
a_{n} =\frac{1}{\pi}\,\frac{(-1)^{n}-1}{n^{2}}.

Passo 4

Para b_{n} calculamos
\int_{0}^{\pi}t\sin(nt)\,dt \quad\text{por partes com } u=t,\;dv=\sin(nt)\,dt
u'=dt,\quad v=-\frac{\cos(nt)}{n} \quad\Longrightarrow\quad \int_{0}^{\pi}t\sin(nt)\,dt =-\frac{\pi(-1)^{n}}{n}.
Logo
b_{n} =\frac{1}{\pi}\Bigl(-\frac{\pi(-1)^{n}}{n}\Bigr) =-\frac{(-1)^{n}}{n}.

Passo 5

Podemos então escrever a série geral:
f(t) =\frac{\pi}{4} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[ \frac{(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}\cos(nt) -\frac{(-1)^{n}}{n}\sin(nt) \Bigr].
Observando que (-1)^{n}-1=0 para n par e -2 para n ímpar, esta forma já é a expressão geral.

Passo 6

Para os primeiros termos, calculamos a_{n} e b_{n} em n=1,2,3,4:
a_{1}=-\frac{2}{\pi},\quad b_{1}=1; \quad a_{2}=0,\quad b_{2}=-\frac{1}{2};
a_{3}=-\frac{2}{9\pi},\quad b_{3}=\frac{1}{3}; \quad a_{4}=0,\quad b_{4}=-\frac{1}{4}.
Assim os primeiros termos da série são
f(t)\approx\frac{\pi}{4} +\Bigl(-\tfrac{2}{\pi}\Bigr)\cos t +1\cdot\sin t +0\cdot\cos2t -\tfrac{1}{2}\sin2t +\Bigl(-\tfrac{2}{9\pi}\Bigr)\cos3t +\tfrac{1}{3}\sin3t -0\cdot\cos4t -\tfrac{1}{4}\sin4t+\cdots.

Resposta

a) f(t) =\frac{\pi}{4} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl[ \frac{(-1)^{n}-1}{\pi n^{2}}\cos(nt) -\frac{(-1)^{n}}{n}\sin(nt) \Bigr].
b) Os primeiros termos são
\frac{\pi}{4} -\frac{2}{\pi}\cos t +\sin t -\frac{1}{2}\sin2t -\frac{2}{9\pi}\cos3t +\frac{1}{3}\sin3t -\frac{1}{4}\sin4t+\cdots.

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