3-Dada a função f(t)= \begin{cases}t+2, & -2<t<0 \\\ t, & 0<t<2\end{cases} Determine:
a) - A expressão geral para a série de Fourier que representa a funçäo.
b)-os primeiros termos da série de Fourier.

Passo 1

O enunciado dá a função periódica de período T=4\) definida em \((-2,2)\) por \[f(t)= \begin{cases} t+2, & -2<t<0,\\\ t, & 0<t<2. \end{cases}
Queremos escrever a série de Fourier na forma
f(t)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos(n\omega_{0}t)+b_{n}\sin(n\omega_{0}t)\bigr),
onde (\omega_{0}=\frac{2\pi}{T}=\frac{\pi}{2}]. Para isso vamos usar as fórmulas
a_{0}=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(t)\,dt,\quad a_{n}=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(t)\cos\bigl(n\omega_{0}t\bigr)\,dt,\quad b_{n}=\frac{1}{2}\int_{-2}^{2}f(t)\sin\bigl(n\omega_{0}t\bigr)\,dt.

Passo 2

Calcular a_{0}.
a_{0} =\frac{1}{2}\Bigl(\int_{-2}^{0}(t+2)\,dt+\int_{0}^{2}t\,dt\Bigr) =\frac{1}{2}\bigl(2+2\bigr) =2.

Passo 3

Calcular a_{n}.
Dividimos a integral em [-2,0] e [0,2] e fazemos a mudança u=t+2 no primeiro trecho. Um cálculo por partes mostra que, para todo n,
\int_{-2}^{2}f(t)\cos\bigl(n\omega_{0}t\bigr)\,dt=0.
Logo
a_{n}=0\quad(\forall n\ge1).

Passo 4

Calcular b_{n}.
Analogamente, particionando e usando integração por partes, chega-se a
\int_{-2}^{2} f(t) \sin\bigl(n \omega_{0} t\bigr) \, dt = \begin{cases} -\,\dfrac{4}{n\pi}, & n\text{ par}, \\[1em] 0, & n\text{ ímpar}. \end{cases}í
Assim
b_{n} = \frac{1}{2} \int_{-2}^{2} f(t) \sin\bigl(n \omega_{0} t\bigr) \, dt = \begin{cases} -\dfrac{2}{n\pi}, & n\text{ par}, \\[6pt] 0, & n\text{ ímpar}. \end{cases}í]

Passo 5

Reescrever só nos harmônicos não nulos. Se n=2m ( m=1,2,3,\dots) então
b_{2m}=-\frac{2}{2m\pi}=-\frac{1}{m\pi},
e \sin\bigl(2m\,\omega_{0}t\bigr)=\sin(m\pi t). Portanto a série fica
f(t) =\frac{a_{0}}{2}+\sum_{m=1}^{\infty}b_{2m}\,\sin\bigl(2m\,\omega_{0}t\bigr) =1-\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m\pi}\,\sin\bigl(m\pi t\bigr).

Resposta

a) A expressão geral é
\boxed{% f(t) =1-\sum_{m=1}^{\infty}\frac{1}{m\pi}\,\sin\bigl(m\pi t\bigr). }
b) Os primeiros termos ( m=1,2,3) são
f(t) =1-\frac{1}{\pi}\sin(\pi t) -\frac{1}{2\pi}\sin(2\pi t) -\frac{1}{3\pi}\sin(3\pi t)+\cdots.

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