Use o Teorema de Green para calcular integralC F cdot d r. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema.)
(i) F(x, y)=(e^yx, e^y ln x+2 x), onde C e a fronteira da região limitada por x=y^4+1 e x=2, orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede
calcular
integralCFcdot d r
para F(x,y)=l(tfrace^yx,,e^yln x+2xr),
onde C é a fronteira da região R limitada por
x = y^4+1 e x=2,
orientada no sentido anti-horário.
Vamos usar o Teorema de Green, que diz
integralCFcdot d r =integral duplaRl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA,
com P(x,y)=tfrace^yx e Q(x,y)=e^yln x+2x.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais
partial Qpartial x =partialpartial xl(e^yln x+2xr) =e^yx+2,
partial Ppartial y =partialpartial yl(e^yxr) =e^yx

Passo 3

Substituindo no integrando de Green, obtemos
partial Qpartial x-partial Ppartial y =l(e^yx+2r)-e^yx =2

Passo 4

Logo
integralCFcdot d r =integral duplaR2,dA
A região R é dada por
-1<= y<= 1, y^4+1<= x<= 2

Passo 5

Montamos a integral iterada:
integral duplaR2,dA =2integraly=-1^1integralx=y^4+1^2dx,dy =2integral-1^1l[2-(y^4+1)r],dy =2integral-1^1(1-y^4),dy
Como a função é par,
integral-1^11,dy=2, integral-1^1y^4,dy=25,
então
2l(2-tfrac25r) =2cdot85 =165

Resposta

165

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