Exercício 32. Determine o conjunto dos pontos de continuidade. Justifique a resposta.
(g) em que r=|(x, y)|
Passo 1
O enunciado define a função
f(x,y)= e^(1r^2-1),&se r<1, 0,&se r>=1,
onde r=|(x,y)|. Queremos achar os pontos de \emph{continuidade} de f no plano. Para isso, vamos usar que composições de funções contínuas são contínuas em regiões onde a definição é uniforme, e verificar o comportamento na fronteira r=1, onde a definição muda.
Passo 2
Para r<1 temos
f(x,y)=e^1r^2-1
A função rmapsto r^2-1 é contínua, tmapsto1t é contínua em tneq0, e umapsto e^u também é contínua em todo u. Como em r<1 garantimos r^2-1<0neq0, a composição é contínua em todo o disco aberto (x,y):r<1.
Passo 3
Para r>1 temos f(x,y)=0, que é uma função constante. Logo f é contínua em todo o exterior do círculo, isto é, em (x,y):r>1.
Passo 4
Fica somente a fronteira r=1. Vamos verificar o limite de f quando (x,y) se aproxima de um ponto com r=1.
(i) Aproximação vindo de dentro (rto1^-):
limrto1^-e^1r^2-1 = e^-infty =0
(ii) Aproximação vindo de fora (rto1^+):
f(x,y)=0
já vale para todo r>1, então
limrto1^+f(x,y)=0
Como em r=1 está definido f(x,y)=0, temos
lim(x,y)to (x0,y0)f(x,y)=0=f(x0,y0)
para qualquer (x0,y0) com |(x0,y0)|=1. Portanto f é contínua também nessa fronteira.
Resposta
O conjunto dos pontos de continuidade de f é todo o plano R^2.