Calcule a circulação e o fluxo dos campos F1=(x, y) e F2=(-y, x) ao redor e através das curvas:
(circunferência) r(t)=( cost, sent), 0 <= t <= 2 pi
Resp.: circ 1=0, circ 2=2 pi, fluxo 1=2 pi fluxo 2=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a circulação ointCFcdot dr e o fluxo ointCFcdot n,ds dos campos F1=(x,y) e F2=(-y,x) ao longo da circunferência unitária r(t)=(cos t,sin t), 0<= t<=2pi. Vamos usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha fechadas a integrais de área.

Passo 2

O Teorema de Green afirma que, para um campo F=(P,Q) e uma região plana D com fronteira C=partial D:
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA
e para o fluxo (integral de F na normal externa) vale:
ointC Fcdot n,ds = integral duplaD l(partial Ppartial x+partial Qpartial yr),dA
Aqui D é o disco de raio 1, cuja área é pi.

Passo 3

Para F1=(x,y) temos P=x e Q=y. Então
partial Qpartial x=0, partial Ppartial y=0
Logo o rotacional é zero e
ointC F1cdot dr = integral duplaD 0,dA = 0

Passo 4

Ainda para F1, a divergência é
partial Ppartial x + partial Qpartial y = 1 + 1 = 2
Portanto o fluxo é
ointC F1cdot n,ds = integral duplaD 2,dA = 2cdot(pi) = 2pi

Passo 5

Para F2=(-y,x) temos P=-y e Q=x. Calculando o rotacional:
partial Qpartial x=1, partial Ppartial y=-1
Logo
partial Qpartial x-partial Ppartial y = 1 - (-1) = 2
e
ointC F2cdot dr = integral duplaD 2,dA = 2pi

Passo 6

Finalmente, a divergência de F2 é
partial Ppartial x + partial Qpartial y = 0 + 0 = 0
Portanto o fluxo de F2 pela circunferência é
ointC F2cdot n,ds = integral duplaD 0,dA = 0

Resposta

circ1=0, circ2=2pi, flux1=2pi, flux2=0

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