Use o Teorema dos valores extremais de Weierstrass para provar que existem dois números não negativos que somam 15 e que tem produto máximo. Mais ainda, será que dá para saber quais são esses números? Se sim, encontre-os.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, usando o Teorema de Weierstrass, que entre todos os pares de números não negativos que somam 15 existe um que maximiza o produto, e em seguida encontrar esses números.
Passo 2
Vamos modelar o problema em
e a função objetivo
. Note que $\mathcal{K}$ é fechado e limitado (logo compacto) e que
é contínua, então pelo Teorema de Weierstrass ela atinge máximo e mínimo em $\mathcal{K}$.
Passo 3
Para encontrar onde ocorre o máximo, reduzimos a dimensão usando a restrição
, com $x$ variando em $[0,15]$. Definimos então a função de uma variável
$$
g(x)=x(15-x)=15x - x^2.
$$
g(x)=x(15-x)=15x - x^2.
$$
Passo 4
Para achar o extremo de
no intervalo $[0,15]$, calculamos a derivada:
$$
g’(x)=15-2x.
$$ Igualando a zero,
g’(x)=15-2x.
$$ Igualando a zero,
$$
15-2x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=7{,}5.
$$ Como (
15-2x=0 \quad\Longrightarrow\quad x=7{,}5.
$$ Como (
g’’(x)=-2<0), esse ponto é um máximo local e, por concavidade, também global em $[0,15]$.
Passo 5
Portanto o par que maximiza o produto é $(x,y)=(7{,}5,7{,}5)$.
Resposta
Os números são 7,5 e 7,5.