Determine se a squência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência de números:
. O objetivo aqui é descobrir se essa sequência chega perto de algum número específico quando continuamos aumentando os termos, ou seja, se ela converge. Se não, então ela diverge. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências, que é uma parte da matemática que estuda como os termos de uma sequência se comportam à medida que avançamos para o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é essa sequência. Observando os termos, percebemos que cada termo pode ser escrito na forma
, onde
começa em
e vai aumentando:
- Quando
, temos - Quando
, temos - Quando
, temos - E assim por diante.
Passo 3
Agora, para descobrir se a sequência converge, vamos calcular o limite quando
tende ao infinito. Ou seja, queremos saber:
Passo 4
Para resolver esse limite, podemos dividir o numerador e o denominador por
, que é o termo de maior grau:
Passo 5
Agora, vamos analisar cada parte:
-
tende a quando tende ao infinito. - Portanto, o denominador
tende a .
Passo 6
Substituindo esses valores no limite, temos:
Resposta
A sequência converge, e o limite é
.