Determine se a squência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
0, 12, 23, 34, 45, 56, 67, cdots

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma sequência de números: 0, 12, 23, 34, 45, 56, 67, cdots. O objetivo aqui é descobrir se essa sequência chega perto de algum número específico quando continuamos aumentando os termos, ou seja, se ela converge. Se não, então ela diverge. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências, que é uma parte da matemática que estuda como os termos de uma sequência se comportam à medida que avançamos para o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é essa sequência. Observando os termos, percebemos que cada termo pode ser escrito na forma nn+1, onde n começa em 0 e vai aumentando:
  • Quando n = 0, temos 01 = 0
  • Quando n = 1, temos 12
  • Quando n = 2, temos 23
  • E assim por diante.

Passo 3

Agora, para descobrir se a sequência converge, vamos calcular o limite quando n tende ao infinito. Ou seja, queremos saber:
limn to infty nn+1

Passo 4

Para resolver esse limite, podemos dividir o numerador e o denominador por n, que é o termo de maior grau:
limn to infty nn+1 = limn to infty nnnn + 1n = limn to infty 11 + 1n

Passo 5

Agora, vamos analisar cada parte:
  • 1n tende a 0 quando n tende ao infinito.
  • Portanto, o denominador 1 + 1n tende a 1 + 0 = 1.

Passo 6

Substituindo esses valores no limite, temos:
limn to infty 11 + 1n = 11 + 0 = 1

Resposta

A sequência converge, e o limite é 1.

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