Para quais valores da constante
o teste da derivada segunda garante que
dada por
terá um ponto de sela em
? E um mínimo local em
? Para quais valores de
o teste da segunda derivada é inconclusivo ?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir para quais valores da constante $ K $ a função $ f(x, y) = x^{2} + Kxy + y^{2} $ tem um ponto de sela e um mínimo local no ponto $ (0,0) $ usando o teste da derivada segunda. Além disso, queremos saber para quais valores de $ K $ o teste não consegue nos dar uma resposta clara. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente o teste da segunda derivada para determinar a natureza dos pontos críticos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função $ f(x, y) $. Isso nos ajudará a construir a matriz Hessiana, que é essencial para aplicar o teste da derivada segunda.
A função é:
Calculando as derivadas parciais:
Passo 3
Agora, vamos montar a matriz Hessiana $ H $:
Para aplicar o teste da derivada segunda, precisamos calcular o determinante da matriz Hessiana ($ D $):
Passo 4
Agora, analisamos o valor de $ D $:
- Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $: Temos um mínimo local.
- Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $: Temos um máximo local.
- Se $ D < 0 $: Temos um ponto de sela.
- Se $ D = 0 $: O teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso aos nossos resultados:
- Ponto de Sela: $ D < 0 $ → $ 4 - K^{2} < 0 $ → $ K^{2} > 4 $ → $ |K| > 2 $
- Mínimo Local: $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $. Como $ f_{xx} = 2 > 0 $, basta $ D > 0 $ → $ 4 - K^{2} > 0 $ → $ K^{2} < 4 $ → $ |K| < 2 $
- Teste Inconclusivo: $ D = 0 $ → $ 4 - K^{2} = 0 $ → $ K^{2} = 4 $ → $ |K| = 2 $
Resposta
- Ponto de Sela em $ (0,0) $: Para $ K $ tais que $ |K| > 2 $.
- Mínimo Local em $ (0,0) $: Para $ K $ tais que $ |K| < 2 $.
- Teste da Segunda Derivada Inconclusivo: Para $ K $ tais que $ |K| = 2 $.