Para quais valores da constante K o teste da derivada segunda garante que f dada por f(x, y)=x^2+K x y+y^2 terá um ponto de sela em (0,0) ? E um mínimo local em (0,0) ? Para quais valores de K o teste da segunda derivada é inconclusivo ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir para quais valores da constante $ K $ a função $ f(x, y) = x^{2} + Kxy + y^{2} $ tem um ponto de sela e um mínimo local no ponto $ (0,0) $ usando o teste da derivada segunda. Além disso, queremos saber para quais valores de $ K $ o teste não consegue nos dar uma resposta clara. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especificamente o teste da segunda derivada para determinar a natureza dos pontos críticos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função $ f(x, y) $. Isso nos ajudará a construir a matriz Hessiana, que é essencial para aplicar o teste da derivada segunda.
A função é:
f(x, y)
Calculando as derivadas parciais:
f(x, y) = x^2 + Kxy + y^2
fxx = partial^2 fpartial x^2 = 2
fyy = partial^2 fpartial y^2 = 2

Passo 3

Agora, vamos montar a matriz Hessiana $ H $:
H
Para aplicar o teste da derivada segunda, precisamos calcular o determinante da matriz Hessiana ($ D $):
H = fxx & fxy fxy & fyy = 2 & K K & 2

Passo 4

Agora, analisamos o valor de $ D $:
  1. Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $: Temos um mínimo local.
  2. Se $ D > 0 $ e $ f_{xx} < 0 $: Temos um máximo local.
  3. Se $ D < 0 $: Temos um ponto de sela.
  4. Se $ D = 0 $: O teste é inconclusivo.
Vamos aplicar isso aos nossos resultados:
  • Ponto de Sela: $ D < 0 $ → $ 4 - K^{2} < 0 $ → $ K^{2} > 4 $ → $ |K| > 2 $
  • Mínimo Local: $ D > 0 $ e $ f_{xx} > 0 $. Como $ f_{xx} = 2 > 0 $, basta $ D > 0 $ → $ 4 - K^{2} > 0 $ → $ K^{2} < 4 $ → $ |K| < 2 $
  • Teste Inconclusivo: $ D = 0 $ → $ 4 - K^{2} = 0 $ → $ K^{2} = 4 $ → $ |K| = 2 $

Resposta

  • Ponto de Sela em $ (0,0) $: Para $ K $ tais que $ |K| > 2 $.
  • Mínimo Local em $ (0,0) $: Para $ K $ tais que $ |K| < 2 $.
  • Teste da Segunda Derivada Inconclusivo: Para $ K $ tais que $ |K| = 2 $.

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