Calcule:
(8 cis 40^circ)^3(2 cis 60^circ)^4

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa expressão: (8 cis 40^circ)^3(2 cis 60^circ)^4. Isso envolve números complexos na forma polar. Para resolver, vamos precisar usar as propriedades de potenciação e divisão de números na forma polar.

Passo 2

Primeiro, vamos lidar com a parte do numerador: (8 cis 40^circ)^3. Existe uma regra que diz que quando você eleva um número na forma polar a uma potência, você eleva o módulo à potência e multiplica o ângulo por essa potência. Ou seja:
(r cis theta)^n = r^n cis (n theta)
Aplicando isso aqui:
(8 cis 40^circ)^3 = 8^3 cis (3 times 40^circ) = 512 cis 120^circ

Passo 3

Agora, vamos resolver a parte do denominador: (2 cis 60^circ)^4. Usamos a mesma regra da potenciação:
(2 cis 60^circ)^4 = 2^4 cis (4 times 60^circ) = 16 cis 240^circ

Passo 4

Agora, vamos dividir os dois resultados que obtivemos. Quando você divide dois números na forma polar, você divide os módulos e subtrai os ângulos:
r1 cis theta1r2 cis theta2 = r1r2 cis (theta1 - theta2)
Aplicando isso nos nossos valores:
512 cis 120^circ16 cis 240^circ = 51216 cis (120^circ - 240^circ) = 32 cis (-120^circ)

Passo 5

Normalmente, preferimos ângulos positivos, então vamos ajustar -120^circ adicionando 360^circ para ficar dentro de um círculo completo:
-120^circ + 360^circ = 240^circ
Então, a expressão fica:
32 cis 240^circ

Resposta

boxed32 cis 240^circ

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