Exercício 2: Encontre a derivada da função.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada de y = sen(tg 2x). O conteúdo aqui é derivada de função composta, então vamos usar a Regra da Cadeia e as derivadas de seno, tangente e da função linear interna.
Passo 2
Primeiro, definimos as funções intermediárias: u = tg(2x) e v = 2x. Como y = sen(u), aplicamos a Regra da Cadeia: dy/dx = cos(u) · du/dx.
Passo 3
Agora calculamos du/dx. Como u = tg(v) com v = 2x, aplicamos a Regra da Cadeia de novo: du/dx = sec²(v) · dv/dx. E dv/dx = 2, pois v = 2x. Portanto, du/dx = 2 sec²(2x).
Passo 4
Por fim, substituímos du/dx em dy/dx: y’ = cos(u) · (2 sec²(2x)). Como u = tg(2x), obtemos y’ = 2 sec²(2x) · cos(tg(2x)).
Resposta
y’ = 2 \sec^2(2x) \cdot \cos(\tan(2x))