Calcule o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função f(x)=e^{x^{2}+5 x} no ponto de abscissa -1.

Passo 1

O enunciado pede o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de \displaystyle f(x)=e^{x^{2}+5x}
no ponto de abscissa x=-1. Isso equivale a calcular a derivada f'(x) e depois avaliar em x=-1. Para isso, vamos usar a regra da cadeia: se f(x)=e^{g(x)}, então
f'(x)=g'(x)\,e^{g(x)}.

Passo 2

Identifiquemos g(x)=x^{2}+5x. Então
g'(x)=2x+5.
Aplicando a regra da cadeia, obtemos
f'(x) = (2x+5)\,e^{\,x^{2}+5x}.

Passo 3

Agora avaliamo­s f'(x) em x=-1:
f'(-1) = \bigl(2\cdot(-1)+5\bigr)\,e^{\,(-1)^{2}+5(-1)} = ( -2 + 5 )\,e^{\,1-5} = 3\,e^{-4}.

Resposta

\displaystyle 3e^{-4}

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