Calcule o coeficiente de expansão volumétrica de um gás ideal submetido a uma pressão de 4,9 atm e a uma temperatura de 123^{\circ} \mathrm{C}. Resposta com 3 algarismos significativos.
Resposta: □ \mathrm{K}^{-1} { }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o coeficiente de expansão volumétrica de um gás ideal quando submetido a uma pressão e a uma temperatura dadas. Os dados fornecidos são:
  • pressão: P = 4,9\\ \mathrm{atm}.
  • temperatura: T_{\text{\text{(C)}}} = 123^\circ\mathrm{C}.
O que se pede é o valor numérico do coeficiente de expansão volumétrica (com 3 algarismos significativos) e a indicação da unidade, entre \mathrm{K}^{-1} e {}^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Passo 2

Definição e fórmula do coeficiente de expansão volumétrica: o coeficiente de expansão volumétrica (isobárico) \beta é definido por
\beta \coloneqq \frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P},
onde:
  • V é o volume do gás,
  • T é a temperatura absoluta (em Kelvin),
  • \left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} é a derivada do volume em relação à temperatura mantendo a pressão constante.
Vou explicar a notação: \dfrac{\partial V}{\partial T} significa a taxa de variação do volume quando a temperatura muda, e o subíndice {}_P indica que essa variação é calculada mantendo a pressão fixa.

Passo 3

Usar a equação do gás ideal para relacionar V e T a pressão constante: a equação do gás ideal é
PV = nRT,
onde:
  • P é a pressão,
  • V é o volume,
  • n é o número de mols,
  • R é a constante universal dos gases ( R\approx 8,314\\ \mathrm{J\,mol^{-1}K^{-1}}),
  • T é a temperatura absoluta em Kelvin.
Isolando V obtemos, para pressão constante,
V = \frac{nR}{P}\,T.
Isso mostra que, para P fixo, V é diretamente proporcional a T.

Passo 4

Calcular a derivada necessária e obter \beta: derivando V em relação a T com P constante:
\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{P} = \frac{nR}{P}.
Agora substituímos na definição de \beta:
\beta = \frac{1}{V}\left(\frac{nR}{P}\right).
Mas como V = \dfrac{nR}{P}\,T, substituindo:
\beta = \frac{1}{\dfrac{nR}{P}\,T}\left(\frac{nR}{P}\right) = \frac{1}{T}.
Portanto, para um gás ideal (em processo isobárico), o coeficiente de expansão volumétrica é simplesmente
\beta = \frac{1}{T},
onde T é a temperatura absoluta em Kelvin. Observação importante: esse resultado não depende da pressão nem da quantidade de gás.

Passo 5

Converter a temperatura dada em Kelvin: a temperatura fornecida é \,123^\circ\mathrm{C}. A conversão para Kelvin é
T = 123 + 273,15 = 396,15\\ \mathrm{K}.

Passo 6

Calcular numericamente \beta:
\beta = \frac{1}{T} = \frac{1}{396,15}\\ \mathrm{K}^{-1}.
Fazendo a divisão (aproximação):
\frac{1}{396,15} \approx 0,002523\\ \mathrm{K}^{-1}.

Passo 7

Arredondar para 3 algarismos significativos: 0,002523 com 3 algarismos significativos fica
\beta \approx 2,52\times10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1}.
Observação sobre unidade: como um incremento de 1\\ \mathrm{K} é igual a um incremento de 1^\circ\mathrm{C}, o valor numérico de \beta expresso em \mathrm{K}^{-1} é igual ao expresso em {}^\circ\mathrm{C}^{-1}. Logo também se pode escrever \beta \approx 2,52\times10^{-3}\\ {}^\circ\mathrm{C}^{-1}.

Resposta

2,52\times10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1}
2,52\times10^{-3}\\ {}^{\circ}\mathrm{C}^{-1}

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