Calcule o coeficiente de expansão volumétrica de um gás ideal submetido a uma pressão de 4,2 \mathrm{~atm} e a uma temperatura de 261^{\circ} \mathrm{C}. Resposta com 3 algarismos significativos.
Resposta:
Resposta
\mathrm{K}^{-1}

{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1}

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos:
  • Pedido: calcular o coeficiente de expansão volumétrica do gás (denotado por \beta).
  • Dados fornecidos:
    • Pressão: \,4{,}2\\ \mathrm{atm}.
    • Temperatura: \,261^\circ\mathrm{C}.
Observações importantes extraídas do enunciado:
  • A temperatura está em graus Celsius e precisa ser convertida para Kelvin para usar fórmulas termodinâmicas que envolvem temperatura absoluta.
  • O enunciado não pede dependência com a pressão, apenas o valor numérico de \beta nas condições dadas.

Passo 2

Definição e fórmula geral do coeficiente de expansão volumétrica:
  • O coeficiente de expansão volumétrica é definido como
\beta=\frac{1}{V}\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p},
onde:
  • \beta é o coeficiente de expansão volumétrica;
  • V é o volume do corpo (ou da amostra de gás);
  • T é a temperatura absoluta (em Kelvin);
  • \left(\dfrac{\partial V}{\partial T}\right)_{p} é a derivada parcial do volume em relação à temperatura mantendo a pressão constante.
Explicando cada peça: \beta mede a fração do volume que muda por unidade de variação da temperatura, mantendo a pressão fixa. É uma grandeza com unidade \mathrm{K}^{-1} (ou {}^\circ\mathrm{C}^{-1} numericamente equivalente para variações de temperatura, pois 1 K = 1 ^\circ\mathrm{C} em amplitude de variação).

Passo 3

Aplicando ao gás ideal (aqui explico por que a conta fica simples):
  • Para um gás ideal vale a equação de estado
pV=nR T,
onde:
  • p é a pressão absoluta;
  • V é o volume;
  • n é o número de mols;
  • R é a constante universal dos gases;
  • T é a temperatura absoluta em Kelvin.
  • Isolando V obtemos
V=\frac{nR}{p}\,T.
  • Como a pressão p é mantida constante ao calcular \beta, derivando V em relação a T a pressão fixa dá
\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_{p}=\frac{nR}{p}.
  • Substituindo na definição de \beta:
\beta=\frac{1}{V}\cdot\frac{nR}{p}.
  • Mas a partir de V=\dfrac{nR}{p}T tem-se \dfrac{nR}{p}=\dfrac{V}{T}. Logo
\beta=\frac{1}{V}\cdot\frac{V}{T}=\frac{1}{T}.
Conclusão teórica importante: para um gás ideal o coeficiente de expansão volumétrica no processo isobárico é simplesmente
\beta=\frac{1}{T},
onde T é a temperatura absoluta (em Kelvin). Observe que esse valor independe da pressão e do número de mols.

Passo 4

Converter a temperatura e calcular numericamente:
  • Converter \,261^\circ\mathrm{C} para Kelvin:
T = 261 + 273{,}15 = 534{,}15\\ \mathrm{K}.
  • Aplicar \beta=1/T:
\beta=\frac{1}{534{,}15}\\ \mathrm{K}^{-1}.
  • Para facilitar a conta use notação científica:
\frac{1}{534{,}15}=\frac{1}{5{,}3415\times10^{2}}=\frac{1}{5{,}3415}\times10^{-2}\approx0{,}187212\times10^{-2}=1{,}87212\times10^{-3}.
Portanto o valor não arredondado é \beta\approx1{,}87212\times10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1}.

Passo 5

Arredondamento para três algarismos significativos:
  • O número encontrado é \,1{,}87212\times10^{-3}. Os três primeiros algarismos significativos são 1, 8 e 7. O quarto algarismo significativo é 2, que é menor que 5, então não há arredondamento para cima.
  • Assim, com três algarismos significativos:
\beta=1{,}87\times10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1}.
Observação prática: numericamente esse valor também pode ser escrito como \,0{,}00187\\ \mathrm{K}^{-1}. Como comentário útil: por terem a mesma amplitude de variação, em contextos práticos pode-se novamente usar {}^\circ\mathrm{C}^{-1} como unidade numérica equivalente, mas a unidade correta de coeficiente térmico em SI é \mathrm{K}^{-1}.

Resposta

1{,}87\times10^{-3}\\ \mathrm{K}^{-1}

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