5 QUESTÃO
: A cápsula esférica ilustrada a seguir é usada para liberação sustentada e de longo prazo de fármacos. Uma solução líquida saturada contendo o fármaco dissolvido (soluto A) é encapsulada dentro de uma casca rígida semelhante a um gel. A solução saturada contém um aglomerado de sólido A, que mantém a concentração dissolvida de A saturada dentro do núcleo líquido da cápsula. O soluto A então difunde-se através da casca semelhante a um gel (a fase gel) para o ambiente externo.
Eventualmente, a fonte de A se esgota e a quantidade de soluto A dentro do núcleo líquido diminui com o tempo. No entanto, enquanto o aglomerado de sólido A existir dentro do núcleo, a solução fonte está saturada em A e a concentração cA é constante. O coeficiente de difusão do soluto A na fase gel B é
. As concentrações do soluto A na fase gel nos limites da casca são
@
, the solubility limit of A in the gel.
@
.
a) Apresente as formas diferenciais da equação de fluxo e da equação diferencial de transferência de massa para este processo de difusão.
b) Desenvolva a equação analítica integrada final para determinar a taxa total de liberação do fármaco,
, das cápsulas sob a condição em que a concentração de A dentro do núcleo líquido da cápsula permanece constante.
Eventualmente, a fonte de A se esgota e a quantidade de soluto A dentro do núcleo líquido diminui com o tempo. No entanto, enquanto o aglomerado de sólido A existir dentro do núcleo, a solução fonte está saturada em A e a concentração cA é constante. O coeficiente de difusão do soluto A na fase gel B é
@
@
a) Apresente as formas diferenciais da equação de fluxo e da equação diferencial de transferência de massa para este processo de difusão.
b) Desenvolva a equação analítica integrada final para determinar a taxa total de liberação do fármaco,
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- (a) escrever as formas diferenciais da equação de fluxo e da equação diferencial de transferência de massa para difusão radial através da casca esférica (fase gel).
- (b) desenvolver a solução analítica final para a taxa total de liberação do fármaco
quando a concentração dentro do núcleo líquido permanece constante (ou seja, a superfície interna tem concentração fixa).
Informações fornecidas (peguei estes dados do enunciado):
- Raio interno da casca (superfície que separa núcleo líquido e gel):
. - Raio externo da casca (superfície gel / ambiente):
. - Coeficiente de difusão do soluto A na fase gel:
. - Concentração na superfície interna (saturada):
(valor constante enquanto houver sólido). - Concentração na superfície externa:
(valor genérico, fornecido ou conhecido experimentalmente; não foi dado numericamente no enunciado).
O que vamos obter:
- (a) equação diferencial local do fluxo radial e a equação de balanço de massa (transiente e a forma reduzida para difusão).
- (b) solução analítica para o perfil de concentração
no estado estacionário e a expressão para a taxa total de liberação (quantidade por tempo), em função de .
Passo 2
Equação de fluxo diferencial — definição e convenção de sinais.
Explicação didática rápida: o fluxo molar (ou densidade de fluxo) num ponto descreve quantas moles (ou massa, conforme unidade de
) de A passam por unidade de área e por unidade de tempo. A lei de Fick na forma diferencial diz que o fluxo é proporcional ao gradiente de concentração, com constante de proporcionalidade
(o sinal negativo indica que o fluxo vai de regiões de maior para menor concentração).
Em coordenadas radiais (sintaxe):
- Denotamos o fluxo radial por
(unidade: quantidade por área por tempo). - O coeficiente de difusão é
.
A forma diferencial da lei de Fick (fluxo radial) é
Aqui:
-
= fluxo molar de no sentido radial (positivo para fora). -
= concentração de na fase gel, função de e . -
= coeficiente de difusão (assumido constante na casca).
Passo 3
Equação diferencial de conservação de massa (transferência de massa) na forma diferencial (transiente) em coordenadas esféricas.
Explicação didática: a conservação de massa local diz que a taxa de variação da concentração dentro de um volume diferencial = fluxo neto que entra pelo contorno + fontes internas. Aqui não há geração química, apenas difusão. Em coordenadas esféricas, a divergência do fluxo radial aparece com o fator
.
A equação de balanço (transiente) para concentração é
Substituindo o fluxo de Fick
obtemos a equação de difusão (forma de conservação) em esfera:
Observações:
- Esta é a equação de difusão unidimensional radial (dependência somente em
), válida para casca esférica simétrica. - Se o processo for estacionário (estado permanente no gel), a derivada temporal é nula e resta a equação reduzida
Passo 4
Resolver a equação estacionária para o perfil de concentração
.
Motivação: quando o núcleo mantém
constante (há sólido saturante), e depois de curto tempo o regime no gel atinge estado estacionário (transferência quase constante), a equação reduzida é
Integração passo a passo:
- Multiplicando por
e integrando uma vez:
onde
é constante de integração.
2. Isolando a derivada:
2. Isolando a derivada:
- Integrando novamente:
onde
é outra constante de integração.
Aplicar condições de contorno (peguei estes valores do enunciado):
Substituindo:
Subtraindo as duas equações para eliminar
:
Isolando
:
Podemos simplificar a expressão usando
, assim
Então o perfil de concentração é
com
e
dados acima (pode-se escrever explicitamente
se necessário, mas não é obrigatório para a taxa de fluxo).
Passo 5
Determinar a taxa total de liberação
(quantidade de A por tempo) a partir do fluxo radial.
Explicação didática: a taxa total de saída através de uma superfície esférica de raio
é a densidade de fluxo multiplicada pela área dessa esfera. Em regime estacionário essa taxa é a mesma para qualquer
no gel. Escolhemos
(superfície externa) ou aplicar de forma geral.
A densidade de fluxo radial (Fick) é
A taxa total de liberação (quantidade por tempo) considerando simetria esférica é
Substituindo
obtemos (observe que
cancela):
Agora substituir
que encontramos no passo anterior:
Logo
Essa é a expressão analítica final para a taxa total de liberação sob condição de concentração constante no núcleo.
Unidades e interpretação:
-
terá a unidade consistente com vezes volume por tempo; aqui, se está em ou e em , então vem em (unidade de ) (ou seja quantidade por tempo). - A expressão mostra que
é proporcional a e ao salto de concentração , e depende geometricamente pelos fatores .
Se desejado, pode-se substituir numericamente
e o valor de
para obter um valor numérico de
. Como
não foi numericamente dado, deixamos a expressão em forma simbólica.
Resposta
(a)
\
(e, em regime estacionário,
).\
(b) .
(b)