1 QUESTÃO (2,0) : Deduza a equação:
\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{N}_{A}+\frac{\partial c_{A}}{\partial t}-R_{A}=0
Para o componente A em termos de unidades molares, começando com a expressão de volume de controle para a conservação de massa.

Passo 1

O enunciado pede: deduzir a equação
\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{N}_{A}+\frac{\partial c_{A}}{\partial t}-R_{A}=0
para o componente A em unidades molares, começando da expressão de volume de controle para conservação de massa.
Informações e convenções que vamos usar (claras e úteis):
  • c_{A}(\mathbf{x},t) é a concentração molar de A em \mathrm{mol}\,\mathrm{m}^{-3}.
  • \mathbf{N}_{A}(\mathbf{x},t) é o vetor fluxo molar de A através de uma superfície, com unidades \mathrm{mol}\,\mathrm{m}^{-2}\mathrm{s}^{-1}. Quando \mathbf{N}_{A}\cdot\mathbf{n}>0 a espécie sai do volume (fluxo para fora).
  • R_{A}(\mathbf{x},t) é a taxa volumétrica de produção de A (geração líquida por reação) em \mathrm{mol}\,\mathrm{m}^{-3}\mathrm{s}^{-1}. (Se R_{A} for negativo, significa consumo.)
  • Será usado um volume de controle fixo V com superfície S orientada pela normal externa \mathbf{n}.
    A meta é partir do balanço integral sobre V e chegar à forma local (diferencial) da conservação para A.

Passo 2

Escrevendo o balanço integral para o número de mols de A no volume de controle: a variação temporal do número de mols dentro de V mais o fluxo líquido de mols saindo por S menos a produção interna por reações deve ser zero (conservação). Em fórmula:
\frac{d}{dt}\int_{V} c_{A}\,dV \;+\;\int_{S}\mathbf{N}_{A}\cdot\mathbf{n}\,dS\;-\;\int_{V}R_{A}\,dV \;=\;0.
Explicação das parcelas:
  • \dfrac{d}{dt}\int_{V} c_{A}\,dV é a acumulação total de mols de A no volume V.
  • \int_{S}\mathbf{N}_{A}\cdot\mathbf{n}\,dS é o fluxo líquido total saindo do volume (soma dos fluxos através de toda a superfície). A sinalização está consistente: termos positivos indicam saída.
  • \int_{V}R_{A}\,dV é a produção total de A no volume; por isso é subtraída no balanço (acumulação + saída − produção = 0).

Passo 3

Como o volume de controle é fixo no espaço, permite-se trocar a ordem derivada-integral:
\frac{d}{dt}\int_{V} c_{A}\,dV=\int_{V}\frac{\partial c_{A}}{\partial t}\,dV.
Aqui é importante entender a diferença entre derivada material (seguindo um elemento de fluido) e derivada parcial no espaço; como o volume é fixo, a taxa de mudança do conteúdo é dada pela integral do termo local \partial c_{A}/\partial t. A unidade de \partial c_{A}/\partial t é \mathrm{mol}\,\mathrm{m}^{-3}\mathrm{s}^{-1}.

Passo 4

Aplicamos o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss) à integral de superfície do fluxo:
\int_{S}\mathbf{N}_{A}\cdot\mathbf{n}\,dS=\int_{V}\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{N}_{A}\,dV.
Breve explicação do Teorema da Divergência: ele transforma o fluxo total através da superfície S no volume integral da divergência do campo sobre V. Fisicamente, \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{N}_{A} mede a taxa líquida de saída de mols por unidade de volume (positivo quando há mais saída local que entrada).

Passo 5

Substituindo as expressões do Passo 3 e do Passo 4 no balanço integral do Passo 2 obtemos uma única integral sobre V:
\int_{V}\frac{\partial c_{A}}{\partial t}\,dV \;+\; \int_{V}\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{N}_{A}\,dV \;-\; \int_{V}R_{A}\,dV \;=\;0.
Juntando em uma só integral:
\int_{V}\left(\frac{\partial c_{A}}{\partial t}+\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{N}_{A}-R_{A}\right)\,dV \;=\;0.
Por hipótese a escolha do volume de controle V é arbitrária (pode ser qualquer volume arbitrariamente pequeno). Para que a integral acima seja zero para todo V arbitrário, o integrando deve ser nulo ponto a ponto. Essa é a passagem padrão do balanço integral para a forma local (diferencial).

Passo 6

Assim, chegamos à forma local da conservação de massa do componente A em unidades molares:
\frac{\partial c_{A}}{\partial t}+\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{N}_{A}-R_{A}=0.
Comentário didático sobre os termos:
  • \dfrac{\partial c_{A}}{\partial t} é a taxa local de acumulação volumétrica de A.
  • \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{N}_{A} é a taxa volumétrica líquida de saída por fluxo (se for positiva significa perda local por transporte).
  • R_{A} é a produção volumétrica por reação (positivo quando produz mols). Portanto a equação diz: acumulação + saída líquida − produção = 0.
    Observação adicional prática: frequentemente \mathbf{N}_{A} é decomposto em parte convectiva e difusiva, por exemplo
\mathbf{N}_{A}=c_{A}\mathbf{v}+\mathbf{J}_{A},
onde \mathbf{v} é a velocidade do fluido e \mathbf{J}_{A} é o fluxo difusivo relativo (como Lei de Fick). Substituindo essa decomposição obtém-se a forma que aparece em transferência de massa convectiva+difusiva.

Passo 7

Resumo final do raciocínio e condições de validade: assumiu-se que os campos são suficientemente suaves (deriváveis) e que o modelo contínuo (campo de concentração) vale. As operações usadas (trocar derivada e integral; aplicação do teorema da divergência; razão de arbitrariedade do volume) são passos padrão para passar da forma integral para a forma local da conservação de espécie.

Resposta

\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{N}_{A}+\frac{\partial c_{A}}{\partial t}-R_{A}=0

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