1 QUESTÃO
: Deduza a equação:
Para o componente A em termos de unidades molares, começando com a expressão de volume de controle para a conservação de massa.
Passo 1
O enunciado pede: deduzir a equação
para o componente A em unidades molares, começando da expressão de volume de controle para conservação de massa.
Informações e convenções que vamos usar (claras e úteis):
Informações e convenções que vamos usar (claras e úteis):
-
é a concentração molar de em . -
é o vetor fluxo molar de através de uma superfície, com unidades . Quando a espécie sai do volume (fluxo para fora). -
é a taxa volumétrica de produção de (geração líquida por reação) em . (Se for negativo, significa consumo.) - Será usado um volume de controle fixo
com superfície orientada pela normal externa .
A meta é partir do balanço integral sobree chegar à forma local (diferencial) da conservação para .
Passo 2
Escrevendo o balanço integral para o número de mols de
no volume de controle: a variação temporal do número de mols dentro de
mais o fluxo líquido de mols saindo por
menos a produção interna por reações deve ser zero (conservação). Em fórmula:
Explicação das parcelas:
-
é a acumulação total de mols de no volume . -
é o fluxo líquido total saindo do volume (soma dos fluxos através de toda a superfície). A sinalização está consistente: termos positivos indicam saída. -
é a produção total de no volume; por isso é subtraída no balanço (acumulação + saída − produção = 0).
Passo 3
Como o volume de controle é fixo no espaço, permite-se trocar a ordem derivada-integral:
Aqui é importante entender a diferença entre derivada material (seguindo um elemento de fluido) e derivada parcial no espaço; como o volume é fixo, a taxa de mudança do conteúdo é dada pela integral do termo local
. A unidade de
é
.
Passo 4
Aplicamos o Teorema da Divergência (ou Teorema de Gauss) à integral de superfície do fluxo:
Breve explicação do Teorema da Divergência: ele transforma o fluxo total através da superfície
no volume integral da divergência do campo sobre
. Fisicamente,
mede a taxa líquida de saída de mols por unidade de volume (positivo quando há mais saída local que entrada).
Passo 5
Substituindo as expressões do Passo 3 e do Passo 4 no balanço integral do Passo 2 obtemos uma única integral sobre
:
Juntando em uma só integral:
Por hipótese a escolha do volume de controle
é arbitrária (pode ser qualquer volume arbitrariamente pequeno). Para que a integral acima seja zero para todo
arbitrário, o integrando deve ser nulo ponto a ponto. Essa é a passagem padrão do balanço integral para a forma local (diferencial).
Passo 6
Assim, chegamos à forma local da conservação de massa do componente
em unidades molares:
Comentário didático sobre os termos:
-
é a taxa local de acumulação volumétrica de . -
é a taxa volumétrica líquida de saída por fluxo (se for positiva significa perda local por transporte). -
é a produção volumétrica por reação (positivo quando produz mols). Portanto a equação diz: acumulação + saída líquida − produção = 0.
Observação adicional prática: frequentementeé decomposto em parte convectiva e difusiva, por exemplo
onde
é a velocidade do fluido e
é o fluxo difusivo relativo (como Lei de Fick). Substituindo essa decomposição obtém-se a forma que aparece em transferência de massa convectiva+difusiva.
Passo 7
Resumo final do raciocínio e condições de validade: assumiu-se que os campos são suficientemente suaves (deriváveis) e que o modelo contínuo (campo de concentração) vale. As operações usadas (trocar derivada e integral; aplicação do teorema da divergência; razão de arbitrariedade do volume) são passos padrão para passar da forma integral para a forma local da conservação de espécie.