Seja o volume do sólido W comum às esferas x^2+y^2+z^2=1 e x^2+y^2+z^2=2 z. Expresse (sem calcular) o volume de W em
(a) em coordenadas cilíndricas na ordem d z d r d theta.
(b) em coordenadas esféricas na ordem d rho d phi d theta.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido W que é a interseção das esferas
x^2+y^2+z^2=1
e
x^2+y^2+z^2=2z,
isto é, a bola unitária centrada em (0,0,0) e a bola unitária centrada em (0,0,1). Vamos montar o integral de V(W) primeiro em coordenadas cilíndricas (r,theta,z) na ordem dz,dr,dtheta e depois em coordenadas esféricas (rho,phi,theta) na ordem drho,dphi,dtheta, sem efetuar os cálculos.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos x^2+y^2=r^2.
– A esfera centrada em (0,0,0) é r^2+z^2=1, daí
z=pmraiz1-r^2
– A esfera centrada em (0,0,1) vem de
x^2+y^2+z^2=2z;Longrightarrow;(z-1)^2+r^2=1,
logo
z=1pmraiz1-r^2
A interseção das duas exige
1-raiz1-r^2;<=;z;<=;raiz1-r^2,
e a condição de existência dessa faixa é
1-raiz1-r^2<= raiz1-r^2 ;Long<=ftrightarrow;r^2<=34 ;Long<=ftrightarrow;0<= r<=raiz32
Além disso theta varia de 0 a 2pi.
Portanto, em coordenadas cilíndricas,
V(W) =integraltheta=0^2pi integralr=0^raiz3/2 integralz=,1-raiz1-r^2^,raiz1-r^2 r;dz,dr,dtheta

Passo 3

Em coordenadas esféricas usamos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi,
com jacobiano rho^2sinphi.
– A esfera x^2+y^2+z^2=1 é rho=1.
– A esfera x^2+y^2+z^2=2z fica
rho^2=2rhocosphi ;Longrightarrow; rho=2cosphi(cosphi>=0)
As duas superfícies se cruzam quando rho=1=2cosphi, i.e.\ phi=pi/3.
Para 0<=phi<=pi/3 vale 2cosphi>=1, então a região comum vai de rho=0 até rho=1.
Para pi/3<=phi<=pi/2 vale 2cosphi<=1, logo a região vai de rho=0 até rho=2cosphi.
E theta em [0,2pi].
Assim em esféricas o volume é
V(W) =integraltheta=0^2pi gl[ integralphi=0^pi/3 integralrho=0^1 rho^2sinphi ,drho,dphi ;+ integralphi=pi/3^pi/2 integralrho=0^2cosphi rho^2sinphi ,drho,dphi gr]dtheta

Resposta

(a)
V(W) =integral0^2pi integral0^raiz3/2 integral,1-raiz1-r^2^,raiz1-r^2 r;dz,dr,dtheta
(b)
V(W) =integral0^2pi gl[ integral0^pi/3 integral0^1 rho^2sinphi ,drho,dphi ;+; integralpi/3^pi/2 integral0^2cosphi rho^2sinphi ,drho,dphi gr]dtheta

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