Seja o volume do sólido
comum às esferas
e
. Expresse (sem calcular) o volume de
em
(a) em coordenadas cilíndricas na ordem
.
(b) em coordenadas esféricas na ordem
.
(a) em coordenadas cilíndricas na ordem
(b) em coordenadas esféricas na ordem
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido
que é a interseção das esferas
e
isto é, a bola unitária centrada em
e a bola unitária centrada em
. Vamos montar o integral de
primeiro em coordenadas cilíndricas
na ordem
e depois em coordenadas esféricas
na ordem
, sem efetuar os cálculos.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos
.
– A esfera centrada em é
, daí
– A esfera centrada em
– A esfera centrada em
vem de
logo
A interseção das duas exige
e a condição de existência dessa faixa é
Além disso
varia de
a
.
Portanto, em coordenadas cilíndricas,
Portanto, em coordenadas cilíndricas,
Passo 3
Em coordenadas esféricas usamos
com jacobiano
.
– A esfera é
.
– A esfera fica
– A esfera
– A esfera
As duas superfícies se cruzam quando
, i.e.\
.
Para vale
, então a região comum vai de
até
.
Para vale
, logo a região vai de
até
.
E em
.
Assim em esféricas o volume é
Para
Para
E
Assim em esféricas o volume é
Resposta
(a)
(b)