Calcule as componentes vertical e horizontal da força hidrostática sobre a comporta cilíndrica mostrada, e o ponto de aplicação da mesma, em função de
a densidade do fluido,
e a aceleração da gravidade,
. Utilize as equações integrais para avaliar.
Passo 1
Então, temos um exercício que pede para calcular as componentes vertical e horizontal da força hidrostática sobre uma comporta cilíndrica. A gente vai precisar usar conceitos de hidrostática e cálculo integral. Vamos precisar saber a densidade do fluido (
), o raio da comporta (
), a aceleração da gravidade (
) e a altura do fluido acima da comporta (
).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a pressão exercida por um fluido em repouso aumenta com a profundidade. A fórmula para a pressão em uma profundidade
é:
Isso significa que quanto mais profundo, maior a pressão.
Passo 3
Para encontrar a força total exercida pelo fluido na comporta, precisamos integrar essa pressão sobre toda a área da comporta. Vamos considerar um elemento infinitesimal de área na comporta a uma altura
do fundo. A área desse elemento é:
Aqui,
é o raio da comporta e
é uma pequena variação na altura.
Passo 4
A força infinitesimal exercida nesse ponto é a pressão multiplicada pela área:
Substituindo a expressão da pressão, temos:
Passo 5
Para encontrar a força total horizontal (
), integramos
de
até
:
Integrando, obtemos:
Passo 6
Agora, para a componente vertical da força (
), consideramos que a força vertical é a resultante das forças distribuídas verticalmente na comporta. Porém, como a pressão é distribuída de maneira simétrica, a componente vertical total será zero. Isso porque as forças superiores e inferiores se cancelam mutuamente.
Passo 7
Para encontrar o ponto de aplicação da força horizontal, precisamos calcular o centro de pressão. O centro de pressão está a uma altura:
Integrando:
Então:
Resposta
A força hidrostática total sobre a comporta cilíndrica é
na direção horizontal e não há componente vertical. O ponto de aplicação dessa força horizontal está a uma altura de
acima do fundo da comporta.