Calcule as componentes vertical e horizontal da força hidrostática sobre a comporta cilíndrica mostrada, e o ponto de aplicação da mesma, em função de h0 a densidade do fluido, R e a aceleração da gravidade, g. Utilize as equações integrais para avaliar.

Passo 1

Então, temos um exercício que pede para calcular as componentes vertical e horizontal da força hidrostática sobre uma comporta cilíndrica. A gente vai precisar usar conceitos de hidrostática e cálculo integral. Vamos precisar saber a densidade do fluido ( rho), o raio da comporta ( R), a aceleração da gravidade ( g) e a altura do fluido acima da comporta ( h0).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a pressão exercida por um fluido em repouso aumenta com a profundidade. A fórmula para a pressão em uma profundidade h é:
p = rho g h
Isso significa que quanto mais profundo, maior a pressão.

Passo 3

Para encontrar a força total exercida pelo fluido na comporta, precisamos integrar essa pressão sobre toda a área da comporta. Vamos considerar um elemento infinitesimal de área na comporta a uma altura y do fundo. A área desse elemento é:
dA = 2pi R dy
Aqui, R é o raio da comporta e dy é uma pequena variação na altura.

Passo 4

A força infinitesimal exercida nesse ponto é a pressão multiplicada pela área:
dF = p cdot dA = rho g y cdot 2pi R dy
Substituindo a expressão da pressão, temos:
dF = 2pi R rho g y dy

Passo 5

Para encontrar a força total horizontal ( Fh), integramos dF de y=0 até y= h0:
Fh = integral0^h0 2pi R rho g y dy
Integrando, obtemos:
Fh = 2pi R rho g [ y^22 ]0^h0 = pi R rho g h0^2

Passo 6

Agora, para a componente vertical da força ( Fv), consideramos que a força vertical é a resultante das forças distribuídas verticalmente na comporta. Porém, como a pressão é distribuída de maneira simétrica, a componente vertical total será zero. Isso porque as forças superiores e inferiores se cancelam mutuamente.

Passo 7

Para encontrar o ponto de aplicação da força horizontal, precisamos calcular o centro de pressão. O centro de pressão está a uma altura:
ycp = integral y cdot dFFh = integral0^h0 y cdot 2pi R rho g y dypi R rho g h0^2 = 2pi R rho g integral0^h0 y^2 dypi R rho g h0^2
Integrando:
integral0^h0 y^2 dy = h0^33
Então:
ycp = 2 cdot h0^33h0^2 = 2h03

Resposta

A força hidrostática total sobre a comporta cilíndrica é pi R rho g h0^2 na direção horizontal e não há componente vertical. O ponto de aplicação dessa força horizontal está a uma altura de 2h03 acima do fundo da comporta.

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