Calcule as componentes x e y, o módulo e a orientação de (a) a+b e (b) b-a se a=3,0 i+4,0 j e b=5,0 i-2,0 j.

Passo 1

O enunciado pede para calcular as componentes, o módulo e a orientação (ângulo em relação ao eixo x positivo) dos vetores
(a) a+b e
(b) b-a,
sendo
a = 3{,}0\,\mathbf{i} + 4{,}0\,\mathbf{j}, \qquad b = 5{,}0\,\mathbf{i} - 2{,}0\,\mathbf{j}.
Vamos usar as operações de soma e subtração de vetores na forma de componentes e, em seguida, calcular o módulo por \sqrt{x^2 + y^2}
e a orientação por \theta = \arctan\bigl(\tfrac{y}{x}\bigr), lembrando de verificar o quadrante.

Passo 2

Calcular as componentes de a+b. Basta somar componente a componente:
a_x + b_x = 3{,}0 + 5{,}0 = 8{,}0, \qquad a_y + b_y = 4{,}0 + (-2{,}0) = 2{,}0.
Logo,
a + b = 8{,}0\,\mathbf{i} + 2{,}0\,\mathbf{j}.

Passo 3

Calcular o módulo e a orientação de a+b.
O módulo é
\|a+b\| = \sqrt{(8{,}0)^2 + (2{,}0)^2} = \sqrt{64 + 4} = \sqrt{68} = 2\sqrt{17} \approx 8{,}246.
A orientação (ângulo \theta) no primeiro quadrante é
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{2{,}0}{8{,}0}\bigr) = \arctan(0{,}25) \approx 14{,}04^\circ.

Passo 4

Calcular as componentes de b - a. Subtraindo componente a componente:
b_x - a_x = 5{,}0 - 3{,}0 = 2{,}0, \qquad b_y - a_y = -2{,}0 - 4{,}0 = -6{,}0.
Logo,
b - a = 2{,}0\,\mathbf{i} - 6{,}0\,\mathbf{j}.

Passo 5

Calcular o módulo e a orientação de b-a.
O módulo é
\|b-a\| = \sqrt{(2{,}0)^2 + (-6{,}0)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6{,}325.
O vetor está no quarto quadrante (com x>0 e y<0), então
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{-6{,}0}{2{,}0}\bigr) = \arctan(-3) \approx -71{,}57^\circ,
ou equivalentemente
\theta = 360^\circ - 71{,}57^\circ = 288{,}43^\circ.

Resposta

(a)
Componentes: a+b = 8{,}0\,\mathbf{i} + 2{,}0\,\mathbf{j}
Módulo: \|a+b\| = 2\sqrt{17}\approx 8{,}246
Orientação: \theta \approx 14{,}04^\circ
(b)
Componentes: b-a = 2{,}0\,\mathbf{i} - 6{,}0\,\mathbf{j}
Módulo: \|b-a\| = 2\sqrt{10}\approx 6{,}325
Orientação: \theta \approx -71{,}57^\circ (ou 288{,}43^\circ).

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