Uma sala tem 5 m de comprimento, 4 m de largura e 3 m de altura. Uma mosca parte do chão, de um canto da sala, voa para o teto e pousa no canto diagonalmente oposto. (a) Qual é o módulo de deslocamento da mosca? (b) A distância percorrida pela mosca pode ser menor do que esse valor? Maior do que ele? Igual a ele? (c) Escolha um sistema de coordenadas apropriado e calcule as componentes do vetor deslocamento neste sistema. (d) Se a mosca decide andar e não voar, qual a menor distância que ela terá que percorrer?

Passo 1

O enunciado descreve uma sala retangular de dimensões 5,m (comprimento), 4,m (largura) e 3,m (altura). A mosca sai do chão num canto e vai para o teto no canto diagonalmente oposto. Vamos:
  • (a) calcular o módulo do vetor deslocamento;
  • (b) discutir se a distância percorrida pode ser menor, igual ou maior que esse módulo;
  • (c) escolher um sistema de coordenadas e achar as componentes do deslocamento;
  • (d) determinar a menor distância ao andar pelas superfícies (sem voar).

Passo 2

Para o deslocamento em linha reta de (0,0,0) até (5,4,3), o módulo é
|\Delta \vec r| = \sqrt{5^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{25 + 16 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\,\text{m}.

Passo 3

Qualquer trajetória que ligue os dois pontos tem comprimento L satisfazendo
L \ge |\Delta \vec r|.
Só dá L = |\Delta \vec r| se o caminho for reto (voo retilíneo). Se a mosca não voar em linha reta, L > |\Delta \vec r|. Nunca é possível ter L < |\Delta \vec r|.

Passo 4

Escolhemos sistema de coordenadas com origem no ponto de partida da mosca, eixos x,y,z paralelos às arestas da sala (comprimento, largura, altura). Nesse sistema, o vetor deslocamento é
\Delta \vec r = (\Delta x,\,\Delta y,\,\Delta z) = (5,\,4,\,3)\,\text{m}.

Passo 5

Para andar sem voar, a mosca deve seguir superfícies do paralelepípedo. O menor caminho num desenvolvimento planar envolve duas faces em sequência. As distâncias possíveis são
d_1 = \sqrt{(5+3)^2 + 4^2} = \sqrt{80},\quad d_2 = \sqrt{(4+3)^2 + 5^2} = \sqrt{74}.
O menor desses é \sqrt{74}\,\text{m}\approx8{,}60\,\text{m}.

Resposta

(a) 5\sqrt{2}\,\mathrm{m}\approx7{,}07\,\mathrm{m}.
(b) A distância percorrida satisfaz L\ge|\Delta\vec r|; só pode ser igual se o voo for retilíneo, maior caso contrário, e nunca menor.
(c) Em coordenadas com eixos paralelos às arestas da sala, \Delta\vec r=(5,4,3)\,\mathrm{m}.
(d) Caminhando pelas superfícies, a menor distância é \sqrt{74}\,\mathrm{m}\approx8{,}60\,\mathrm{m}.

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