A localização de duas cidades da América do Sul difere de 1^{\circ} de latitude e 1^{\circ} de longitude. Mostre que o módulo do vetor deslocamento de B em relação a A é dado aproximadamente por \mathrm{d}\left(1+\cos ^{2} \lambda\right) (elevado a 1 / 2 ), onde \lambda é a latitude de A e \mathrm{d}=111 km.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para duas cidades A e B que diferem de 1^\circ em latitude e 1^\circ em longitude, o módulo do vetor deslocamento \overrightarrow{AB} é aproximadamente d\sqrt{1+\cos^2\lambda}, onde \lambda é a latitude de A e d=111 km é o comprimento aproximado de 1^\circ de arco no meridiano. Vamos usar geometria esférica e aproximar pequenos deslocamentos por componentes cartesianas locais.
Passo 2
Para a variação de 1^\circ de latitude, o arco no meridiano tem comprimento
\Delta y = d\cdot1 = d.
Passo 3
Para a variação de 1^\circ de longitude, o arco a cada latitude \lambda tem comprimento reduzido pelo fator \cos\lambda. Logo,
\Delta x = d\cos\lambda.
Passo 4
Em pequena escala, os deslocamentos norte–sul e leste–oeste são ortogonais. Assim, o módulo de \overrightarrow{AB} é dado pelo teorema de Pitágoras: